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Espace complet/de Banach

On dit qu'un espace métrique $(X,d)$ est complet si toute suite de Cauchy de $X$ est convergente dans $X.$ Un espace vectoriel normé qui est complet s'appelle espace de Banach. Par exemple, $(\mathbb R,|\cdot|)$, $(\mathbb C,|\cdot|)$ sont complets. Plus généralement, un espace vectoriel normé de dimension finie est un espace de Banach. En revanche, l'espace vectoriel $E$ des fonctions continues sur $[0,1]$ muni de la norme $$\|f\|_1=\int_0^1 |f(t)|dt$$ n'est pas un espace de Banach.

La complétude est une notion très importante pour construire des objets par des phénomènes limites. Ainsi, les espaces métriques complets vérifient les 3 propriétés très importantes suivantes :

  • Toute série absolument convergente y est convergente.
  • Le théorème du point fixe pour une application contractante est vraie.
  • Toute application uniformément continue d'une partie dense $D$ d'un espace métrique $X$, à valeurs dans un espace métrique complet $Y$, se prolonge de façon unique à $X$.

Ces 3 théorèmes, ainsi que le théorème de Baire, font que les espaces complets sont le cadre indispensable pour faire de l'analyse fonctionnelle.

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