Espace compact
On appelle cette propriété la propriété de Bolzano-Weierstrass. En effet, le théorème de Bolzano-Weierstrass pour les suites réelles se traduit en disant que tout segment $[a,b]$ de $\mathbb R$ est compact. Ainsi, les espaces compacts sont une généralisation des segments de $\mathbb R$. En particulier, les fonctions continues vont bien se comporter vis-à-vis des espaces compacts. Si $K$ est une partie compacte d'un espace vectoriel normé, alors
- toute fonction continue sur $K$ est uniformément continue (c'est le théorème de Heine);
- si $f:K\to\mathbb R$ est une fonction continue, alors elle est bornée et atteint ses bornes;
- plus généralement, si $(E,d)$ est un espace métrique compact, $(F,\delta)$ un espace métrique, et $f:E\to F$ est continue, alors $f(E)$ est compact.
C'est notamment grâce à la compacité que l'on démontre que toutes les normes sur un espace vectoriel de dimension finie sont équivalentes.
Les résultats suivants résument quelques-unes des propriétés des parties compactes d'un espace métrique :
- une intersection de compacts est compacte;
- une réunion d'un nombre fini de compacts est compact;
- un produit cartésien de parties compactes est compacte (ici, le produit cartésien peut être fini, dénombrable, ou même quelconque, c'est le théorème de Tychonov);
- une partie compacte d'un espace métrique est fermée et bornée;
- une partie finie d'un espace métrique est compacte;
Il existe une caractérisation des espaces métriques compacts, connue sous le nom de propriété de Borel-Lebesgue :
La propriété de Borel-Lebesgue peut s'interprétér qu'un espace compact est "presque fini". Elle permet de faire des raisonnements au voisinage de chaque point, et d'en déduire un résultat global à partir d'un nombre fini de points.
Lorsqu'on sort du cadre des espaces métriques, c'est-à-dire que l'on travaille dans les espaces topologiques, on définit les parties compactes à partir de la propriété de Borel-Lebesgue.
La notion d'ensemble compact est introduite par Maurice Fréchet dans sa thèse sous la forme suivante :
"Nous dirons qu'un ensemble est compact lorsqu'il ne comprend qu'un nombre fini d'éléments ou lorsque toute infinité
de ses éléments donne lieu à au moins un élément limite". La propriété de Borel-Lebesgue a été introduite, et démontrée,
dans le cas des segments de $\mathbb R$, et pour les recouvrements dénombrables, par Borel en 1895.
Lebesgue en donne lui une démonstration beaucoup plus simple en 1904
même si la famille $\mathcal F$ n'est pas dénombrable. Ce n'est qu'en 1924 qu'Alexandrov et Urysohn utilisent
la propriété de Borel-Lebesgue comme définition de la compacité dans les espaces topologiques séparés.