Équations de Cauchy-Riemann
Soit $f$ une fonction de $\mathbb C$ dans $\mathbb C$. Écrivant un nombre complexe $z$ sous la forme $z=x+iy$, $f$ peut être vue comme une fonction de deux variables, qu'on écrit $f(x,y)=P(x,y)+iQ(x,y)$. Supposons que $f$ soit différentiable en $z_0=(x_0,y_0)$, comme fonction de deux variables réelles. Une condition nécessaire et suffisante pour que $f$ soit holomorphe en $z_0$ (c'est-à-dire dérivable de la variable complexe) est que les équations suivantes sont vérifiées :
$$\left\{ \begin{array}{rcl} \displaystyle \frac{\partial P}{\partial x}(x_0,y_0)&=&\displaystyle \frac{\partial Q}{\partial y}(x_0,y_0)\\ \displaystyle \frac{\partial P}{\partial y}(x_0,y_0)&=&-\displaystyle \frac{\partial Q}{\partial x}(x_0,y_0). \end{array}\right.$$Ces équations s'appellent équations de Cauchy-Riemann. Elles peuvent encore s'écrire $$\bar \partial f(z_0)=0$$ où l'opérateur différentiel $\bar\partial$ (lire d barre) est par définition égal à $\frac 12\left(\frac{\partial}{\partial x} +i\frac{\partial}{\partial y}\right),$ ou encore $$\frac{\partial f}{\partial y}(z_0)=i\frac{\partial f}{\partial x}(z_0).$$
Dans le cas où $f$ est différentiable en $z_0$ et que les équations de Cauchy-Riemann sont vérifiées en $z_0,$ alors la différentielle de $f$ au point $z_0$ est l'application $df(z_0) : h \in\mathbb C\mapsto f'(z_0)h\in\mathbb C.$ De plus, $$f'(z_0) = \frac{\partial f}{\partial x} (z_0) = -i\frac{\partial f}{\partial y}(z_0)=\partial f(z_0)$$ où l'opérateur différentiel $\partial$ est, par définition, égal à $\frac 12\left(\frac{\partial}{\partial x} -i\frac{\partial}{\partial y}\right).$