Cardinal, et hiérarchie au delà de l'infini!

Le cardinal d'un ensemble $E$ est le nombre d'éléments de cet ensemble. Voilà une définition qui ne pose pas de problèmes si $E$ est un ensemble fini.... Mais comment définir le cardinal, ou nombre d'éléments d'un ensemble infini?? Est-ce qu'il peut y avoir une hiérarchie entre les ensembles infinis? Par exemple, peut-on dire que l'ensemble des nombres entiers naturels $\mathbb N$ a moins d'éléments que celui des nombres réels $\mathbb R?$

Soit $E$ et $F$ deux ensembles quelconques. On dit que $E$ et $F$ sont équipotents s'il existe une bijection de $E$ sur $F.$ Cette relation "être équipotent" est une relation d'équivalence. On appelle nombre cardinal d'un ensemble $E$ la classe d'équivalence de l'ensemble $E$ pour cette relation. Par abus de langage, on dira que $E$ est de cardinal l'entier naturel non nul $n$ si $E$ est équipotent à l'ensemble $\{1,2,3,...,n\}.$ Si l'ensemble $E$ est infini, son cardinal est ce que l'on appelle un nombre transfini.

Comment définir une hiérarchie sur les cardinaux? On dira que le nombre cardinal d'un ensemble $E$ est plus petit que le nombre cardinal d'un ensemble $F$ si $E$ est en bijection avec une partie de $F,$ sans être en bijection avec $F$ tout entier. Par exemple, $n$ est bien plus petit que $n+1,$ puisque l'ensemble $\{1,...,n\}$ est en bijection avec une partie de $\{1,...,n+1\},$ sans être en bijection avec l'ensemble complet.

Que dire des cardinaux infinis? $\mathbb N=\{0,1,2,3,....\}$ est un ensemble infini, et son cardinal est le plus petit nombre cardinal infini. Mais il existe des cardinaux strictement plus grands : par exemple, l'ensemble des réels $\mathbb R$ ne peut pas être mis en bijection avec $\mathbb N.$