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Dictionnaire de mathématiques > Fondements > Théorie des ensembles >

Théorème de Cantor

Théorème : Soit $E$ un ensemble. Alors $E$ et l'ensemble de ses parties $\mathcal P(E)$ ne sont pas en bijection.

Ce théorème est facile à démontrer par des arguments de cardinaux si $E$ est fini : en effet, si $E$ est un ensemble fini comportant $n$ éléments, alors $\mathcal P(E)$ comporte $2^n$ éléments et $2^n>n$ pour tout entier naturel $n.$

L'argument de Cantor, donné en 1891, se base sur un raisonnement par l'absurde. Supposons qu'il existe une surjection $f:E\to\mathcal P(E)$ et notons $D=\{x\in E:\ x\notin f(x)\}.$ Alors il existe $y\in E$ tel que $D=f(y).$ Mais alors :

  • si $y\in D,$ alors $y\notin f(y)=D$ et c'est une contradiction.
  • si $y\notin D,$ alors $y\in f(y)=D$ et c'est aussi une contradiction.

Donc l'hypothèse émise au départ est fausse et il n'existe pas de surjection de $E$ sur $\mathcal P(E).$

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