Brachistochrone

On considère deux points $A$ et $B$ de l'espace, $A$ étant situé plus haut que $B.$ Quelle courbe faut-il tracer entre $A$ et $B$ pour qu'une bille lâchée en $A$ et roulant sans glisser jusque $B$ le fasse le plus vite possible? On appelle cela le problème de la courbe brachistochrone.

L'intuition répond qu'il s'agit probablement de la droite qui relie $A$ et $B.$ Il n'en est rien. La courbe qui optimise le temps est un arc de cycloïde renversé, bien que la bille doive alors remonter pour atteindre $B.$

Ce problème avait été posé à Jacques Bernoulli par son frère Jean. Les méthodes imaginées pour sa résolution amenèrent à développer la branche des mathématiques qu'on appelle le Calcul des Variations.