Bosses glissantes
On construit une suite de fonctions $(f_n)_{n\geq 1}$ définies sur $[0,1]$ en plusieurs étapes :
- à la première étape, on construit une seule fonction $f_1$, qui est identiquement égale à $1.$
- à la deuxième étape, on coupe $[0,1]$ en $2,$ et on fabrique $2$ fonctions $f_2$ et $f_3$ : $f_2$ vaut $1$ sur $[0,1/2]$ et $0$ ailleurs, $f_3$ vaut $1$ sur $[1/2,1]$ et $0$ ailleurs.
- à la troisième étape, on coupe $[0,1]$ en $4,$ et on construit $4$ fonctions $f_4$, $f_5$, $f_6$ et $f_7$. $f_4$ vaut $1$ sur $[0,1/4],$ et $0$ ailleurs, $f_5$ vaut $1$ sur $[1/4,1/2]$, et $0$ ailleurs, etc...
- ainsi, à la $n$-ème étape, on construit $2^{n-1}$ fonctions, chacune valant $1$ sur un intervalle de taille $1/2^{n-1}$, et $0$ ailleurs.
La suite ainsi obtenue s'appelle suite des bosses glissantes. Elle est à l'origine de nombreux contre-exemples, comme celui-ci : $(f_n)$ converge en moyenne vers 0 (ce qui signifie que la suite des intégrales de $f_n$ tend vers 0), alors qu'elle ne converge simplement en aucun point.
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