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Dictionnaire de mathématiques > Probabilité et statistiques > Probabilités > Modes de convergence et théorèmes limites >

Lemme de Borel-Cantelli

Théorème : Soit $(\Omega,\mathcal A,P)$ un espace probabilisé, $(A_n)$ une suite d'événements, et $A$ l'événement $\limsup_n A_n$ : autrement dit : $$A=\left\{\omega\in\Omega;\ \omega\textrm{ appartient à une infinité de }A_n\right\}.$$
  • Si $\sum_n P(A_n)<+\infty$ alors $P(A)=0$. Autrement dit, avec une probabilité égale à 1, au plus un nombre fini d'événements $A_n$ se réalise.
  • Si les événements $A_n$ sont indépendants, et si $\sum_n P(A_n)=+\infty$, alors $P(A)=1$. Autrement dit, avec une probabilité égale à 1, une infinité d'événements $A_n$ se réalise.

Ex : On lance une pièce. Quelle est la probabilité pour qu'une infinité de fois, on ait 2 piles successifs. Pour $n\geq 1$, on note $B_n$ : "on obtient pile au $2n$-ième lancer et pile au $(2n+1)$-ième lancer". Les évenements $B_n$ sont indépendants, et $P(B_n)=1/4$. D'après le lemme de Borel-Cantelli, point 2., avec une probabilité égale à 1, une infinité de $B_n$ sont réalisés.

Le lemme de Borel-Cantelli est un premier exemple de la loi du 0/1 de Kolmogorov. Cette loi affirme que certains événements finaux (ou limite) ne peuvent prendre la probabilité que 0 ou 1. Une autre application de ce lemme, qui se démontre à peu près comme ci-dessus, est le paradoxe du singe savant. C'est Emile Borel qui en 1909 énonce le premier ce résultat, dans un article au sujet des fractions continues. Dans les deux cas, il suppose les événements indépendants. Quatre ans plus tard, Cantelli prouve qu'on n'a pas besoin de cette hypothèse lorsque la série est convergente.

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