Théorème de Borel

La série de Taylor d'une fonction $\mathcal C^\infty$ est un objet important en analyse. Il est naturel de se demander si pour une fonction $f$ de classe $\mathcal C^\infty$ au voisinage de $0,$ on a $$f(x)=\sum_{k\geq 0}\frac{f^{(k)}(0)}{k!}x^k$$ dans un voisinage de $0.$ Le premier contre-exemple fut donné par Cauchy en 1823 : c'est la fameuse fonction $f$ définie par $f(x)=0$ si $x\leq 0$ et $f(x)=\exp(-1/x^2)$ si $x>0$, qui est $\mathcal C^\infty$ sur $\mathbb R$ et pour laquelle $f^{(k)}(0)=0$ pour tout $k\geq 0.$ Ainsi, la série de Taylor de $f$ est la fonction constante égale à $0$ et n'est bien sûr jamais égale à $f$ sur un intervalle ouvert contenant $0$. Cinquante ans plus tard, en 1876, le mathématicien allemand Paul du Bois Reymond est le premier à donner un exemple de fonction $\mathcal C^\infty$ dont la série de Taylor en $0$ diverge en tout point autre que $0.$ Le théorème précédent, prouvé par Émile Borel dans sa thèse en 1895, est un résultat qui illustre à quel point la série de Taylor d'une fonction de classe $\mathcal C^\infty$ peut être arbitraire. Il se trouve qu'en réalité, ce théorème a été démontré onze ans plus tôt par Giuseppe Peano, dans son livre Calculo differenziale e principii di calcolo integrale .