Courbe de Bolzano
La fonction de Bolzano est un exemple de fonction continue sur $[0,1]$ qui n'est dérivable en aucun point. Elle est construite de la façon suivante : on part du segment joignant le point $(0,0)$ au point $(1,1).$ On coupe ce segment en 3, on joint le point $(0,0)$ au point $(1/3,2/3),$ le point $(1/3,2/3)$ au point $(2/3,1/3),$ puis le point $(2/3,1/3)$ au point $(1,1).$ Remarquons que $(1/3,2/3)$ a l'abscisse du point situé au tiers du segment initial et l'ordonnée du point situé au deux-tiers.
On recommence ensuite avec chacun des 3 segments, et on itère cette construction. On définit ainsi une suite de fonctions $(f_n)$ qui converge simplement vers une fonction $f$ qui est continue et nulle part dérivable. Les dessins ci-dessous donnent les premières étapes de la construction.
Ces images ont été produites avec le code Python suivant (un bon exemple de programmation par récursivité) :
import matplotlib.pyplot as plt
def tiers(A,B):
xA, yA=A
xB, yB=B
dx=xB-xA
dy=yB-yA
xM=xA+1/3*dx
xN=xA+2/3*dx
yM=yA+2/3*dy
yN=yA+1/3*dy
return (xM,yM), (xN, yN)
def Bolzano(A,B,n):
if (n==1):
plt.plot([A[0],B[0]],[A[1],B[1]],color='k')
else:
C,D=tiers(A,B)
Bolzano(A,C,n-1)
Bolzano(C,D,n-1)
Bolzano(D,B,n-1)
Bolzano((0,0),(1,1),7)
plt.show()
Cet exemple de Bolzano date de 1834. Plus tard, c'est Weierstrass qui popularisa les
exemples de fonctions continues nulle part dérivables.