Binôme de Newton - Coefficients binomiaux
Théorème : Si $a$ et $b$ sont deux nombres complexes, et $n$ est un entier naturel non nul, alors
$$(a+b)^n=\sum_{k=0}^n \binom nk a^k b^{n-k}.$$
Cette formule explique le nom de coefficients binomiaux donné aux $\binom nk$. Elle reste vraie si $a$ et $b$ sont deux éléments d'un même anneau lorsque $a$ et $b$ commutent.
Si cette formule porte de le nom de Newton, elle était connue des mathématiciens arabes 6 siècles auparavant.
Ainsi, on sait que le mathématicien persan Muhammed al-Karaji l'avait établie autour de l'an 1000.
Isaac Newton a lui généralisé cette formule vers 1676 à des exposants fractionnaires : on trouve alors un développement
en série, et non une somme finie. Toutefois, il faudra encore attendre le XIXè siècle pour avoir une preuve
rigoureuse des formules établies par Newton.
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