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Nombres et polynômes de Bernoulli
Définition :
La suite $(B_n)$ des polynômes de Bernoulli est la suite de polynômes définie par récurrence de la
façon suivante :
La suite $(b_n)$ des nombres de Bernoulli est alors définie par $b_n=B_n(0)$.
- $B_0=1$.
- Pour tout entier $n>0$, $B_n'=nB_{n-1}$ et $\int_0^1 B_n(t)dt=0$.
Les nombres de Bernoulli jouent, selon Jean Dieudonné, un des grands mathématiciens du XXiè siècle, "un rôle important et assez mystérieux dans des parties aussi diverses des mathématiques que l'analyse, la théorie des nombres et la topologie différentielle". Par exemple, les nombres et polynômes de Bernoulli interviennent dans les valeurs aux entiers pairs de la fonction Zeta $$\zeta(2k)=\sum_{n\geq 1}\frac 1{n^{2k}}=\frac{(-1)^{k+1}b_{2k}}{2(2k)!}\times (2\pi)^{2k},$$ dans des développements en série $$\frac{z}{e^z-1}=\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{b_n}{n!}z^n$$ ou encore dans la formule d'Euler-Mac Laurin. Par ailleurs, les nombres de Bernoulli ont servi comme support du premier algorithme écrit par Ada Lovelace au XIXè siècle.
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