Théorème de la base télescopique
Théorème : Soit $k \subset K \subset L$ des extensions de corps.
- Soit $(\alpha_i)_{i\in I}$ une base de $K$ sur $k$ et $(\beta_j)_{j\in J}$ une base de $L$ sur $K.$ Alors $(\alpha_i\beta_j)_{(i,j)\in I\times J}$ est une base de $L$ sur $k.$
- L'extension $k \subset L$ est finie si et seulement si les extensions $k \subset K$ et $K \subset L$ le sont. S'il en est ainsi, on a $[L : k] = [L : K]\cdot [K : k].$
Corollaire :
Soit $k \subset L$ une extension telle que $[L : k]$ soit un nombre premier. Il n'existe aucun corps $K$ vérifiant $k \subset K \subset L$
avec $K\neq k$ et $K\neq L.$
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