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Théorème de Banach-Steinhaus

Théorème : Soient $X$ un espace de Banach et $Y$ un espace vectoriel normé. Soit également $\mathcal F$ une famille d'applications linéaires continues de $X$ dans $Y$. Si, pour tout $x\in X$, $\sup\{\|Tx\|:\ T\in\mathcal F\}$ est fini, alors $\sup\{\|T\|:\ T\in\mathcal F\}$ est fini.
Ce théorème, qui apparait dans un article de Banach et Steinhaus en 1927, est en réalité dû à Hildebrandt en 1923. Dans les pays anglo-saxons, il est connu sous le nom de "Uniform Boundedness Principle".
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