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Lemme d'Auerbach

Soit $E$ un espace vectoriel normé de dimension finie $n\geq 1$. Soit $(e_1,\dots,e_n)$ une base normée de $E$ (c'est-à-dire que $\|e_j\|=1$ pour tout $j=1,\dots,n$) et soit $(e_1^*,\dots,e_n^*)$ la base duale. Alors puisque $1=e_j^*(e_j)\leq \|e_j^*\|\cdot\|e_j\|,$ on obtient $\|e_j^*\|\geq 1.$ D'autre part, si $E$ est un espace euclidien et $(e_1,\dots,e_n)$ est une base orthonormée de $E,$ alors pour tout $j=1,\dots,n$ on a $$|e_j^*(x)|=|\langle e_j^*,x\rangle|\leq \|e_j^*\|\cdot \|x\|$$ et donc $\|e_j^*\|\leq 1.$ Le lemme d'Auerbach dit qu'il est possible de réaliser une telle construction dans n'importe quel espace de Banach.

Théorème : Soit $E$ un espace vectoriel normé de dimension finie $n.$ Il existe une base normée $(e_1,\dots,e_n)$ de $E$ dont la base duale est également normée.

Un corollaire intéressant de ce résultat est un théorème de projection : soit $X$ un espace vectoriel normé et $E$ un sous-espace vectoriel de $E$ de dimension finie $n$. Alors il existe une projection $P:X\to V$ telle que $\|P\|\leq n.$

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