Anneau artinien

Un anneau commutatif $A$ est artinien si toute suite d'idéaux décroissante pour l'inclusion est stationnaire. Même si la définition peut sembler proche de celle d'un anneau noethérien, être artinien est beaucoup plus restrictif qu'être noethérien. Par exemple, l'anneau $\mathbb Z$ n'est pas artinien : la suite d'idéaux $(2^n \mathbb Z)_{n\geq 0}$ est une suite strictement décroissante et non stationnaire. Plus généralement, un anneau intègre est artinien si et seulement si c'est un corps. Et bien sûr, tout anneau fini est artinien.