Anneaux et idéaux

L'ensemble des entiers relatifs $\mathbb Z$ est muni de deux opérations courantes : l'addition et la multiplication. Ces deux opérations sont associatives, commutatives, la multiplication est distributive par rapport à l'addition. Il y a en revanche une différence essentielle : l'addition possède un élément neutre, 0, la multiplication aussi, 1. Mais, si chaque entier $n$ possède un inverse pour l'addition, c'est-à-dire qu'il existe $b$ de $\mathbb Z$ avec $n+b=0$, il n'en est pas de même pour la multiplication. Par exemple, quels que soit $b$ de $\mathbb Z$, on n'a jamais $2b=1$.

Cette structure avec deux opérations est partagée par de nombreux ensembles (par exemple, les polynômes). Pour englober tout cela dans un cadre algébrique général, on a la définition suivante :

Si $×$ possède un élément neutre, l'anneau est dit unitaire (ceci est parfois supposé dans la définition d'un anneau). L'élément neutre pour $+$ est noté $0$, celui de $×$ est noté $1$. Si la loi $×$ est commutative, l'anneau est commutatif. Un élément $a$ de $A$ est inversible s'il l'est pour la loi $×$, c'est-à-dire s'il existe $b$ de $A$ avec $ab=ba=1$.

Une partie $B$ d'un anneau $A$ est un sous-anneau de $A$ si elle est elle-même un anneau pour les opération $+$ et $×$ qu'elle hérite de $A$. Contrairement aux sous-groupes, les sous-anneaux ne sont pas très étudiés. La sous-structure intéressante correspond plutôt à la notion de sous-groupe distingué :

Précisément, un tel idéal est appelé idéal bilatère. Si on a simplement "Pour tout $x$ de $I$, et tout $a$ de $A$, $ax$ appartient à $I$", on parle d'idéal à gauche.

Exemple : Les idéaux de $\mathbb Z$ sont les $n\mathbb Z$ avec $n\in\mathbb N.$

Lorsque les anneaux sont unitaires, on suppose aussi parfois que $f(1_A)=1_B.$