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Algèbre normée, algèbre de Banach

Une algèbre normée est une algèbre associative $E$ sur $\mathbb R$ ou $\mathbb C$ munie d'une norme $\|\cdot\|$ vérifiant $$\forall (x,y)\in E^2,\ \|x\cdot y\|\leq \|x\|\cdot\|y\|.$$ Parfois, on exige de plus que l'algèbre admette une unité $e$ vérifiant $\|e\|=1.$

Une algèbre de Banach est une algèbre normée qui est complète pour la norme d'algèbre.

Exemples :

  • Soit $E$ un espace vectoriel normé. Alors $(\mathcal L(E),+,\circ)$ est une algèbre normée pour la norme subordonnée. Si de plus $E$ est complet, alors $\mathcal L(E)$ est une algèbre de Banach.
  • L'ensemble des réels (ou des complexes) muni de la valeur absolue (du module) est une algèbre de Banach.
  • L'ensemble des fonctions continues sur $[0,1]$ à valeurs dans $\mathbb R$ ou $\mathbb C$ muni de $\|\cdot\|_\infty$ est une algèbre de Banach. Plus généralement, l'ensemble des fonctions continues sur un compact à valeurs dans $\mathbb R$ ou $\mathbb C$ muni de $\|\cdot\|_\infty$ est une algèbre de Banach.
  • L'espace de Lebesgue $L^1(\mathbb R),$ muni du produit de convolution et la norme $\|\cdot\|_1,$ est une algèbre de Banach commutative, mais qui n'est pas unitaire.
  • Pour $\Omega$ un ouvert de $\mathbb C$, l'ensemble $H^{\infty}(\Omega)$ des fonctions holomorphes bornées sur $\Omega$ muni de la norme $\|\cdot\|_\infty$ est une algèbre de Banach.
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