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Dictionnaire de mathématiques > Algèbre > Algèbre linéaire > Espaces vectoriels >

Affinité

Soit $E$ un espace vectoriel, $F$ et $G$ deux sous-espaces supplémentaires de $E$, et $\lambda\in\mathbb R.$ On appelle affinité de base $F$ de direction $G$ et de rapport $\lambda$ l'application linéaire $\varphi$ définie sur $E$ par $\varphi(x)=x_F+\lambda x_G$ où $x=x_F+x_G$ avec $x_F\in F$ et $x_G\in G$.

Les affinités recouvrent les cas particuliers suivants :

  • si $F=E$ ou $\lambda=1,$ $\varphi$ est l'identité;
  • si $G=E$, $\varphi$ est l'homothétie de rapport $\lambda;$
  • si $\dim(G)=1,$ $\varphi$ est la dilatation de base $F,$ de direction $G$ et de rapport $\lambda;$
  • si $\lambda=0,$ $\varphi$ est la projections sur $F$ parallèlement à $G;$
  • si $\lambda=-1,$ $\varphi$ est la symétrie par rapport à $F$ parallèlement à $G.$
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