Accroissement - Théorèmes des accroissements finis
Si $f$ est une fonction $[a,b]\to \mathbb R$, et si $x_0$ et $x_1$ sont des éléments distincts de $[a,b]$, on appelle accroissement (absolu) de la fonction entre $x_0$ et $x_1$ le nombre $f(x_1)-f(x_0)$, et accroissement relatif le quotient : $\displaystyle\frac{f(x_1)-f(x_0)}{x_1-x_0}$. L'accroissement relatif correspond à la pente de la droite entre les points $(x_0,f(x_0))$ et $(x_1,f(x_1))$.
Ce théorème a plusieurs interprétations :
- Graphiquement, cela signifie qu'il existe un point $c$ où la tangente à la courbe représentative de $f$ au point $(c,f( c))$ est parallèle à la corde passant par $(a,f(a))$ et par $(b,f(b))$.
- Cinématiquement : si une voiture a réalisé un trajet en roulant à une vitesse moyenne de 90 km/h, alors à un moment du trajet sa vitesse instantanée a été 90 km/h.
L'égalité des accroissements finis est un théorème vraiment très important. C'est grâce à ce théorème que l'on peut démontrer qu'une fonction dont la dérivée est positive est croissante.
Dans le cas des fonctions à valeurs dans $\mathbb C$ ou dans $\mathbb R^n$, l'égalité des accroissements finis n'est plus valable, ainsi que le montre la fonction $f$ définie par $f(t)=(\cos(t),\sin(t))$. On a $f(0)=f(2\pi)$, mais la dérivée ne s'annule jamais ! En revanche, on a les résultats suivants, appelés inégalités des accroissements finis :
Cette forme suffit pour de nombreuses applications, comme l'inégalité de Taylor-Lagrange par exemple.
L'inégalité des accroissements finis se généralise aux fonctions de plusieurs variables.
En particulier, le théorème précédent s'applique lorsque $U$ est un ouvert convexe, lorsque $f$ est différentiable sur $U$ et que $\|df_x\|_{\textrm{op}}\leq k,$ pour tout $x\in U$.
Remarquons que le théorème des accroissements finis, sous une forme ou une autre, intervient dans la démonstration de la plupart des résultats principaux du calcul différentiel (différentiabilité d'une fonction dont les dérivées partielles existent et sont continues, théorème de Schwarz, ...).
L'interprétation géométrique du théorème des accroissements finis
a été observée dès 1635 par Bonaventura Cavalieri qui avait observé dans son ouvrage sur les indivisibles
qu'en au moins un des points d'un arc de courbe usuel, la tangente à l'arc est parallèle à la corde joignant
les extrémités de l'arc. La formulation moderne apparaît dans un ouvrage publié en 1797 par Joseph Lagrange
(d'ailleurs, Italiens et Russes nomment le théorème des accroissements finis théorème de Lagrange).
Cependant, la méthode de Lagrange est peu rigoureuse. Cauchy reprend le sujet 25 ans plus tard,
mais commet une erreur lors de sa preuve. De plus, il fait l'hypothèse superflue que $f'$ doit être continue.
Pierre Ossian Bonnet donne un énoncé et une preuve proche des formulations actuelles, mais sa démonstration
comporte encore une erreur (il pense que toute fonction continue est monotone par morceaux).
Finalement, la première preuve rigoureuse est due à Ulisse Dini, en 1878.
Source : Biographie des grands théorèmes, par X. Hauchecorne.