Fonctions absolument continues
Les fonctions absolument continues sont une classe générale de fonctions dérivables presque partout et pour lesquelles la relation $f(x)=f(a)+\int_a^x f'(t)dt$, bien continue pour les fonctions continûment dérivables, reste vraie. Une fonction $f:[a,b]\to\mathbb R$ est dite absolument continue si, pour tout $\varepsilon>0$, il existe $\delta>0$ tel que, pour toute famille finie d'intervalles deux à deux disjoints $]a_k,b_k[$, $k=1,\dots,n$, contenus dans $[a,b]$, alors $$\sum_{k=1}^n |b_k-a_k|<\delta\implies \sum_{k=1}^n |f(b_k)-f(a_k)|<\varepsilon.$$ En particulier, une fonction absolument continue est à variations bornées.
Théorème :
$f:[a,b]\to\mathbb R$ est absolument continue si et seulement s'il existe $g\in L^1([a,b])$ telle que, pour tout $x\in[a,b]$,
$f(x)=f(a)+\int_a^x g(t)dt.$
En particulier, une fonction absolument continue est dérivable presque partout.
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