Le monde fascinant des carrés magiques

Tableaux de nombres ou de lettres, au placement si singulier, ces carrés ont depuis tout temps fasciné les hommes, à tel point que leur construction semblait relever du "surnaturel" : de là à les qualifier de magiques, il n'y avait qu'un pas... Les astrologues eurent d'ailleurs tôt fait de jouer sur cette croyance : de l'ordre 3 (carré de saturne) en passant par l'ordre 6 (carré du soleil), jusqu'à l'ordre 9 b(carré de la lune), chacun de ces carrés "magiques" a été associé à une "planète" du système solaire.... Prenez vos grigris et partons à leur découverte...
Comment parler des carrés magiques, sans évoquer le plus célèbre d'entre eux (qui a fait, et fera encore couler beaucoup d'encre) le carré de lettres SATOR, composé de 25 lettres réparties en 5 mots ? Chacun d'entre eux étant d'ailleurs un palindrome (se lit sans les deux sens). La traduction proposée ici n'est qu'une parmi d'autres.
Le carré SATOR a été retrouvé dans les ruines de Pompeï dans les ruines de Rennes-le-château dans les châteaux de Chinon et de Loches (Indre-et-Loire) dans le château de Jarnac (Charentes) dans la Maison dAgnès Sorel, favorite de Charles VII (Puy-de-Dôme) en léglise Saint-Laurent, à Rochemaure, (Ardèche) au Pays de Galles en Turquie. ....... liste non exhaustive... Par sa présence à Rennes-le-château, il a été associé par certains au mystère du "Trésor des Templiers". Qu'il ait été retrouvé à Pompei, enseveli par l'éruption du Vésuve en 79 ap. J.C, prouve son antériorité à cette date... Le premier, un pasteur saxon, Felix Grosser, lui attribua en 1925, une signification religieuse. Il nota que le mot TENET était disposé en croix, et que ce carré soit composé de palindromes, lui donna l'idée de composer une autre croix :

Et pour les 2 A et 2 O restant, il s'est référé à la phrase biblique << Je suis l'Alpha et l'Omega ! >>. Et si on se donne la peine de chercher un peu sur la "toile", on y découvre beaucoup d'autres interprétations, tant il a stimulé (et stimule encore) l'imagination des exégètes de tout poil...
Pourtant, quand on pense carrés magiques, on pense d'abord aux carrés magiques de nombres : on en donne à compléter aux élèves de 6e, dans le cadre de la consolidation de l'acquisition du sens de l'addition et de la soustraction (dans le cas de carrés additivement "magiques")... Un "carré magique" est un tableau de nombres disposés de telle façon que la somme des nombres de n'importe quelle ligne, n'importe quelle colonne, ou placés sur les diagonales soit la même. Voici 2 exemples (sur 880) de carré d'ordre 4 : On constate en outre que cette somme ne dépend pas de la disposition des nombres. En voici deux autres d'ordre 5 : On constate encore sur ces deux exemples que la valeur de la somme, appelée pour cette raison "constante du carré" ne dépend que de la dimension du carré. Les carrés magiques ici présentés sont qualifiés de "normaux" : ils comprennent tous les nombres de 1 à 25 pour le carré de 5, par exemple. La constante du carré de 3 est c = 15, celle du carré de 4 est c = 34, celle de 5 vaut c = 65... Peut-on prévoir la valeur de cette somme pour un carré de n'importe quelle dimension ? 20 par exemple ? Oui, bien sûr ! Il faut faire la somme de tous les nombres de 1 à 400 (20 x 20) et diviser cette somme par 20 puisqu'il y a 20 lignes (ou 20 colonnes) : c'est aussi une "devinette" qu'on donne aux élèves de 6eme pour des carrés de dimensions modestes (5 ou 6) : test du "sens de la division"... Donc ici : 1 + 2 +3 + 4 +..........+ 400 = 40200 et divisé par 20 : 2010... Mais c'est quand même un peu long ! N'y a-t-il pas de moyen plus rapide ? Si, mais là c'est un peu plus subtil... Il f"suffit" d'écrire deux fois la somme, une fois dans l'ordre croissant et une autre fois dans l'ordre décroissant : S = 1 + 2 + 3 +....... + 400 S = 400 + 399 + 398 + .......+ 1. et de remarquer que, si on ajoute ces deux sommes on obtient 400 fois le nombre 401 (test du sens de la "multiplication"), donc la valeur de la somme est (401 x 400)/2 (puisqu'il y a deux fois la somme) qu'il faut encore diviser par 20 pour trouver la constante du carré, ici 2010. Pour les amateurs de "sensations fortes", signalons qu'on peut établir une formule universelle à partir de la dimension n du carré : La somme 1 + 2 + 3 + ...+ n² est la somme des n² premiers termes d'une suite arithmétique de premier terme 1 et de raison 1 qui vaut qu'il faut encore diviser par la dimension n du carré. Ce qui donne pour la constante c du carré de dimension n : .
Examinons donc le plus simple de tous, le carré de 3 :
Il a une particularité unique : il est unique justement ! Oui, il n'y en en a qu'un... - Comment ? Vous en avez trouvé d'autres ? Non, non ! Ce n'est qu'une illusion : faites tourner la roue ! - La roue ? Quelle roue ? - Regardez bien ce carré, arrondissez-le, faites-en un disque, placez le 5 au centre, les autre nombres sur le cercle par paires de nombres de somme 10 (1+9, 2+8, 3+7, 4+6) et faites tourner la roue, par quarts de tour : cela fait déjà quatre variantes, du même carré, chacune pouvant se dédoubler par symétrie ce qui nous fait 8 déclinaisons du même carré... Notez que le 1 ne peut pas occuper la place du coin... Essayez pour vous en convaincre. Il est connu depuis très longtemps : nommé "carré de Saturne" par les astrologues, posé sur le ventre d'une parturiente, il était censé en faciliter l'accouchement... Futures mères, si le coeur vous en dit... Au delà du ton badin, ne vous y trompez pas, les carrés magiques ont exercé une attirance certaine sur des noms aussi connus et variés que Albrecht Dürer, Paracelse, Blaise Pascal, Bachet de Meziriac, Pierre de Fermat, Benjamin Franklin, Simon de la Loubère (ambassadeur de Louis XIV), Euler, Goethe (Faust), un Général : Eutrope Cazalas et bien d'autres encore...

On distingue 3 grandes familles de carrés magiques. Le nombre k étant un nombre entier naturel 1, 2, 3, 4, on distingue :

Les carrés de dimension impaire n = 2k+1 :3, 5, 7, 9... Ces carrés peuvent être également diaboliques (encore dits pandiagonaux) Un carré est dit diabolique si la constante magique c se trouve être aussi la somme des nombres placés sur n'importe quelle diagonale brisée.
Ci-contre, 3 diagonale brisées sont tracées : l'une en rouge, l'autre en vert, et enfin la troisième en bleu,
Les carrés de dimension "pairement paire" n = 4k : 4, 8, 12, 16, 20... Ils peuvent être également diaboliques, mais aussi "enchantés" Un carré est dit enchanté, si la somme des 4 nombres d'un cadre de 2 x 2 cases, placés n'importe où sur ce carré "pairement pair" est toujours égale à la constante d'enchantement.
Ci-contre deux cadres de base ont été tracés l'un en rouge, l'autre en vert
Sachant qu'il y a dans ce type de carré (n : dimension du carré) cadres de 4 nombres, en divisant la somme des nombres du carré par cette valeur, on obtient la constante d'enchantement e = ,
Les carrés de dimension "impairement paire" n = 2(2k+1) : 6, 10, 14 , 18... On peut démontrer par l'absurde qu'ls ne peuvent être diaboliques.

Hors classification, il faut aussi signaler l'existence de "carrés à enceintes" à propos desquels Pascal rédigea un petit traité (voir Galerie) et de carrés bi -et tri- magiques :

un carré bimagique est un carré qui reste magique lorsqu'on remplace chaque nombre par son carré (3 par 3² = 9, par exemple)
un carré trimagique est un carré bimagique qui reste magique en remplaçant chaque nombre du carré initial par son cube (2 par 2³ = 8, par exemple). Le 1er, de taille 128 x 128, a été découvert en 1905.
Ce n'est que très récemment, en 2002, qu'un allemand, Walter Trump, réussit à construire un carré trimagique de 12 x 12 : dimension minimum (pour la non-existence de dimensions inférieures, voir ici).

Voir aussi :

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