$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
Bibm@th

Changement de base - Bibm@th.net

Enoncé
Soit $u$ l'application linéaire de $\mathbb R^3$ dans $\mathbb R^2$ dont la matrice dans leur base canonique respective est $$A=\left( \begin{array}{ccc} 2&-1&1\\ 3&2&-3 \end{array}\right).$$ On appelle $(e_1,e_2,e_3)$ la base canonique de $\mathbb R^3$ et $(f_1,f_2)$ celle de $\mathbb R^2$. On pose $$e_1'=e_2+e_3,\ e_2'=e_3+e_1,\ e_3'=e_1+e_2\textrm{ et }f_1'=\frac{1}{2}(f_1+f_2),\ f_2'=\frac{1}{2}(f_1-f_2).$$
  1. Montrer que $(e_1',e_2',e_3')$ est une base de $\mathbb R^3$ puis que $(f_1',f_2')$ est une base de $\mathbb R^2$.
  2. Qelle est la matrice de $u$ dans ces nouvelles bases?
Indication
Corrigé