Corrigé On va partir, en utilisant la formule de de Moivre, de
$$\cos(5x)+i\sin(5x)=e^{i5x}=(e^{ix})^5=(\cos x+i\sin x)^5.$$
On développe ensuite ce produit et on identifie parties réelles et parties imaginaires. On trouve
$$\cos(5x)=\cos^5 x −10\cos^3x \sin^2 x +5\cos x \sin^4 x$$
et
$$\sin(5x)=5\cos^4x\sin x −10\cos^2x \sin^3x +\sin^5 x.$$