Corrigé On écrit :
\begin{eqnarray*}
\cos^5 x&=&\left(\frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2}\right)^5\\
&=&\frac{1}{32}\left(e^{5ix}+5e^{i3x}+10e^{ix}+10e^{-ix}+5e^{-i3x}+e^{-i5x}\right)\\
&=&\frac{1}{16}\big(\cos(5x)+5\cos(3x)+10\cos x\big).
\end{eqnarray*}
Le même raisonnement donne
$$\sin^5 x=\frac{1}{16}\big(\sin(5x)-5\sin(3x)+10\sin(x)\big).$$
Pour la dernière expression, on procède ainsi :
\begin{eqnarray*}
\cos^2 x\sin^3 x&=&\left(\frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2}\right)^2\left(\frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i}\right)^3\\
&=&\frac{e^{2ix}+2+e^{-2ix}}{4}\times\frac{e^{3ix}-3e^{ix}+3e^{-ix}-e^{-3ix}}{-8i}\\
&=&\frac{e^{5ix}-e^{3ix}-2e^{ix}+2e^{-ix}+e^{-3ix}-e^{-5ix}}{-32 i}\\
&=&\frac{2i\sin(5x)-2i\sin(3x)-4i\sin(x)}{-32i}\\
&=&\frac{-1}{16}\sin(5x)+\frac1{16}\sin(3x)+\frac18\sin(x).
\end{eqnarray*}