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Théorème de Darboux - Bibm@th.net

Exercice 1 - Théorème de Darboux [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $I$ un intervalle ouvert de $\mtr$, et $f$ une fonction dérivable sur $I$. On veut prouver que $f'$ vérifie le théorème des valeurs intermédiaires.
  1. Pourquoi n'est-ce pas trivial?
  2. Soit $(a,b)\in I^2$, tel que $f'(a)<f'(b)$, et soit $z\in]f'(a),f'(b)[$. Montrer qu'il existe $\alpha>0$ tel que, pour tout réel $h\in]0,\alpha]$, on ait : $$\frac{1}{h}\left(f(a+h)-f(a)\right)<z<\frac{1}{h}\left(f(b+h)-f(b)\right).$$
  3. En déduire l'existence d'un réel $h>0$ et d'un point $y$ de $I$ tels que : $$y+h\in I \textrm{ et }\frac{1}{h}\left(f(y+h)-f(y)\right)=z.$$
  4. Montrer qu'il existe un point $x$ de $I$ tel que $z=f'(x)$.
  5. En déduire que $f'(I)$ est un intervalle.
  6. Soit $f(x)=x^2\sin\left(\frac{1}{x^2}\right)$ sur $[0,1]$, $0$ en $0$. Montrer que $f$ est dérivable sur $[0,1]$. $f'$ est-elle continue sur $[0,1]$? Déterminer $f'([0,1])$. Qu'en concluez-vous?
Indication
Corrigé