Avec second membre - Bibm@th.net
Enoncé
Résoudre les systèmes différentiels suivants :
$$\begin{array}{lll}
\mathbf 1.\
\left\{
\begin{array}{rcl}
x_1'(t)&=&6x_1(t)+3x_2(t)-3t+4e^{3t}\\
x_2'(t)&=&-4x_1(t)-x_2(t)+4t-4e^{3t}
\end{array}\right.
&\quad&
\mathbf 2.\
\left\{
\begin{array}{rcl}
x_1'(t)&=&x_1(t)+2x_2(t)+t\\
x_2'(t)&=&-4x_1(t)-3x_2(t).
\end{array}\right.
\end{array}$$
On donnera les solutions réelles.
Indication
- Introduire la matrice $A$ du sytème et la diagonaliser. Introduire ensuite le vecteur $Y(t)=\binom{y_1(t)}{y_2(t)}$ tel que $X(t)=PY(t)$ (où $P$ est la matrice de passage à la base qui diagonalise $A$), et résoudre le système (diagonal) vérifié par $Y(t)$.
- C'est la même méthode, mais cette fois la matrice est diagonalisable sur $\mathbb C$.
Corrigé
- Soit $A=\left( \begin{array}{cc} 6&3\\ -4&-1 \end{array} \right)$ la matrice du système. Ses valeurs propres sont 2 et 3, avec vecteurs propres respectifs $(-3,4)$ et $(4,-4)$. Soit $P$ la matrice de passage de la base canonique à la nouvelle base, c'est-à-dire $$P=\left(\begin{array}{cc} -3&4\\ 4&-4 \end{array}\right),\ P^{-1}=\frac14\left(\begin{array}{cc} 4&4\\ 4&3\end{array}\right).$$ Soit $Y(t)=\binom{y_1(t)}{y_2(t)}$ tel que $X(t)=PY(t)$. Le système se réécrit alors en $$PY'(t)=APY(t)+B(t)\iff Y'(t)=P^{-1}APY(t)+P^{-1}B(t),$$ où $B(t)=\binom{-3t+4e^{3t}}{4t-4e^{3t}}$. Ainsi, on obtient le système différentiel diagonal suivant : $$\left\{ \begin{array}{rcl} y_1'(t)&=&2y_1(t)+t\\ y_2'(t)&=&3y_2(t)+e^{3t}. \end{array} \right.$$ Il est désormais facile de résoudre séparément chacune des équations différentielles séparément, en cherchant notamment une solution particulière sous la forme d'une exponentielle-polynôme. On trouve alors que $$\left\{ \begin{array}{rcl} y_1(t)&=&\lambda e^{2t}-\frac t2-\frac14\\ y_2(t)&=&\mu e^{3t}+te^{3t} \end{array}\right.$$ Revenant à $X(t)$, on trouve que les solutions du système différentiel initial sont les fonctions $$\left\{ \begin{array}{rcl} x_1(t)&=&-3\lambda e^{2t}+4\mu e^{3t}+\frac{3t}2+\frac34+4te^{3t}\\ x_2(t)&=&4\lambda e^{2t}-4\mu e^{3t}-2t-1-4te^{3t}. \end{array}\right.$$
- La méthode est similaire, mais cette fois la matrice n'est diagonalisable que sur le corps des nombres complexes $\mathbb C$. On pose donc $A=\left( \begin{array}{cc} 1&2\\ -4&-3 \end{array} \right)$ la matrice du système. Ses valeurs propres sont $-1+2i$ et $-1-2i$, avec vecteurs propres respectifs $(1-i,2i)$ et $(1+i,-2i)$. Soit $P$ la matrice de passage de la base canonique à la nouvelle base, c'est-à-dire $$P=\left(\begin{array}{cc} 1-i&1+i\\ 2i&-2i \end{array}\right),\ P^{-1}=\frac i4\left(\begin{array}{cc} -2i&-1-i\\ -2i&1-i\end{array}\right).$$ Soit $Y(t)=\binom{y_1(t)}{y_2(t)}$ tel que $X(t)=PY(t)$. Le système se réécrit alors en $$PY'(t)=APY(t)+B(t)\iff Y'(t)=P^{-1}APY(t)+P^{-1}B(t),$$ où $B(t)=\binom{t}{0}$. Ainsi, on obtient le système différentiel diagonal suivant : $$\left\{ \begin{array}{rcl} y_1'(t)&=&(-1+2i)y_1(t)+t/2\\ y_2'(t)&=&(-1-2i)y_2(t)+t/2. \end{array} \right.$$ Ses solutions (complexes) sont $$\left\{ \begin{array}{rcl} y_1(t)&=&c_1e^{(-1+2i)t}+\frac t{10}+\frac{3}{50}+\frac{it}{5}-\frac{2i}{25}\\ y_2(t)&=&c_1e^{(-1-2i)t}+\frac t{10}+\frac{3}{50}-\frac{it}{5}+\frac{2i}{25} \end{array} \right.$$ avec $c_1,c_2\in\mathbb C$. Si on revient à $x_1$ et $x_2$, et en remplaçant $e^{(-1+2i)t}$ par $e^{-t}(\cos(2t)+i\sin(2t))$, on trouve $$\left\{ \begin{array}{rcl} x_1(t)&=&\big( (c_1+c_2)-i(c_1-c_2)\big)e^{-t}\cos(2t)+\big(i(c_1-c_2)+(c_1+c_2)\big)e^{-t}\sin(2t)+\frac{3t}{5}-\frac{1}{25}\\ x_2(t)&=&2i(c_1-c_2)e^{-t}\cos(2t)-2(c_1+c_2)e^{-t}\sin(2t)-\frac {4t}{5}+\frac{8}{25}. \end{array} \right.$$ On pose $\lambda=c_1+c_2$ et $\mu=i(c_1-c_2)$. Le couple $(\lambda,\mu)$ parcourt $\mathbb C^2$ lorsque $(c_1,c_2)$ parcourt $\mathbb C^2$, et les solutions complexes du système sont $$\left\{ \begin{array}{rcl} x_1(t)&=&(\lambda-\mu)e^{-t}\cos(2t)+(\lambda+\mu)e^{-t}\sin(2t)+\frac{3t}{5}-\frac{1}{25}\\ x_2(t)&=&2\mu e^{-t}\cos(2t)-2\lambda e^{-t}\sin(2t)-\frac {4t}{5}+\frac{8}{25}. \end{array} \right.$$ Pour obtenir les solutions réelles, il suffit de prendre $\lambda,\mu$ dans $\mathbb R$.