$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
Bibm@th

Théorème de Cantor-Bernstein - Bibm@th.net

Exercice 1 - Théorème de Cantor-Bernstein [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Le but de cet exercice est de démontrer un célèbre théorème de Cantor et Bernstein : si $E$ et $F$ sont des ensembles tels qu'il existe une injection de $E$ dans $F$ et une injection de $F$ dans $E$, alors il existe une bijection de $E$ sur $F$. On se donne donc deux ensembles $E$ et $F$ et deux applications injectives $i:E\to F$ et $j:F\to E$. On note par ailleurs $$A_0=E\backslash j(F),\ A_1=(j\circ i)(A_0),\dots, A_{n+1}=(j\circ i)(A_n)$$ et $$B=\bigcup_{n\geq 1}A_n,\ C=E\backslash B.$$
  1. Construction de l'application.
    1. Démontrer que pour tout $x\in C$, il existe un unique $z\in F$ tel que $j(x)=z$. On notera cet élément $\phi(x)$.
    2. Pour $x\in B$, on note $\phi(x)=i(x)$. Démontrer que l'on a ainsi bien défini une application $\phi:E\to F$.
  2. Injectivité de $\phi$.
    1. Démontrer que les restrictions de $\phi$ à $B$ et à $C$ sont injectives.
    2. Considérons maintenant $x\in C$ et $y\in B$ tels que $\phi(x)=\phi(y)$. Démontrer que $x=(j\circ i)(y)$.
    3. En déduire que $\phi$ est injective.
  3. Surjectivité de $\phi$. Démontrer que $\phi$ est surjective.
  4. Un exemple. Pour $E=\mathbb N$, $F=\{2,3,\dots,\}$, $i:E\to F,\ n\mapsto n+4$, $j:F\to E,\ n\mapsto n$, déterminer les ensembles $A_n$, $B$, $C$ et l'application $\phi$.
Indication
Corrigé