Points de discontinuité d'une fonction monotone - Bibm@th.net
Exercice 1 - Points de discontinuité d'une fonction monotone [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $f:[a,b]\to\mathbb R$ une fonction croissante. Pour $x\in ]a,b[$, on pose $\delta(x)=\lim_{y\to x^+}f(y)-\lim_{y\to x^-}f(y)$ (c'est le "saut" de $f$ en $x$).
- Pour $n\in\mathbb N^*$, démontrer que $E_n=\{x\in ]a,b[;\ \delta(x)>1/n\}$ est fini.
- En déduire que l'ensemble des points de discontinuité de $f$ est au plus dénombrable.
- Généraliser ce résultat au cas où $f$ est définie sur $\mathbb R$.