Uniforme non normale - Bibm@th.net
Enoncé
On considère la série de fonctions $\sum_{n\geq 2} u_n$, avec $u_n(x)=\frac{xe^{-nx}}{\ln n}$.
- Démontrer que $\sum_{n\geq 2}u_n$ converge simplement sur $\mathbb R_+$.
- Démontrer que la convergence n'est pas normale sur $\mathbb R_+$.
- Pour $x\in\mathbb R_+$, on pose $R_n(x)=\sum_{k\geq n+1}u_k(x)$. Démontrer que, pour tout $x>0$, $$0\leq R_n(x)\leq \frac{xe^{-x}}{\ln (n+1) (1-e^{-x})},$$ et en déduire que la série converge uniformément sur $\mathbb R_+$.