$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
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Exemples et contre-exemples - Bibm@th.net

Exercice 1 - Exemples et contre-exemples [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Pour $x\geq 0$, on pose $u_n(x)=\frac{x}{n^2+x^2}.$
  1. Montrer que la série $\sum_{n=1}^{+\infty}u_n$ converge simplement sur $\mathbb R_+$.
  2. Montrer que la série $\sum_{n=1}^{+\infty}u_n$ converge uniformémement sur tout intervalle $[0,A]$, avec $A>0$.
  3. Vérifier que, pour tout $n\in\mathbb N$, $\sum_{k=n+1}^{2n}\frac{n}{n^2+k^2}\geq\frac 15$.
  4. En déduire que la série $\sum_{n\geq 1}u_n$ ne converge pas uniformément sur $\mathbb R_+$.
  5. Montrer que la série $\sum_{n=1}^{+\infty}(-1)^n u_n$ converge uniformément sur $\mathbb R_+$.
  6. Montrer que la série $\sum_{n=1}^{+\infty}(-1)^n u_n$ converge normalement sur tout intervalle $[0,A]$, avec $A>0$.
  7. Montrer que la série $\sum_{n=1}^{+\infty}(-1)^n u_n$ ne converge pas normalement sur $\mathbb R_+$.
Indication
Corrigé