Enoncé Soit $a\geq 0$. On définit la suite de fonctions $(f_n)$ sur $[0,1]$ par $f_n(x)=n^a x^n(1-x)$.
Montrer que la suite $(f_n)$ converge simplement vers 0 sur $[0,1]$, mais que la convergence est uniforme si et seulement si
$a<1.$
Corrigé Pour $x=1$, on a $f_n(1)=0$ quelque soit $n$. Pour $x\in[0,1[$, par croissance comparée des fonctions puissances et exponentielles, on sait
que $f_n(x)$ tend vers 0. Donc la suite $(f_n)$ converge simplement vers 0 sur $[0,1]$.
Pour étudier la convergence uniforme, on doit étudier la suite $\|f_n-0\|_\infty$. Pour cela, on dérive $f_n$ :
$$f_n'(x)=n^{a+1}x^{n-1}(1-x)-n^a x^n=n^ax^{n-1}\left(n(1-x)-x\right).$$
Ainsi, $f_n'$ s'annule en 0 et en $x_n=\frac{n}{n+1}$ qui sont tous les deux des points de $[0,1]$. Puisque $f_n(0)=f_n(1)=0$,
on trouve que
\begin{eqnarray*}
\|f_n\|_\infty&=&|f_n(x_n)|\\
&=&n^a \left(\frac{n}{n+1}\right)^n\left(1-\frac n{n+1}\right)\\
&=&\frac{n^a}{n+1}\left(\frac{n}{n+1}\right)^{n}.
\end{eqnarray*}
Or, en passant par l'exponentielle et le logarithme, on prouve facilement que
$$\left(\frac{n}{n+1}\right)^{n}\to e^{-1}.$$
On en déduit que
$$\|f_n\|_\infty\sim_{+\infty}e^{-1}n^{{a-1}}.$$
Ainsi, $(f_n)$ converge uniformément vers 0 sur $[0,1]$ (ie $(\|f_n\|_\infty)$ tend vers 0) si et seulement si $a<1$.