$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
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\'Etude de convergence simple et uniforme détaillée - Bibm@th.net

Exercice 1 - Étude de convergence simple et uniforme détaillée [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Pour $x\in\mathbb R$, on pose $f_n(x)=1+x+\dots+x^{n-1}$.
  1. Étudier la convergence simple de la suite de fonctions $(f_n)$. On note $f(x)$ la limite de la suite $(f_n(x))$ lorsque cette limite existe.
  2. On pose, pour $x\in ]-1,1[$, $\varphi_n(x)=f(x)-f_n(x)$. Vérifier que $$\varphi_n(x)=\frac{x^n}{1-x}.$$
  3. Quelle est la limite de $\varphi_n$ en $1$? En déduire que la convergence n'est pas uniforme sur $]-1,1[$.
  4. Démontrer que $(f_n)$ converge uniformément vers $f$ sur $[-a,a]$.
Indication
Corrigé