\'Etude de convergence simple et uniforme détaillée - Bibm@th.net
Exercice 1 - Étude de convergence simple et uniforme détaillée [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Pour $x\in\mathbb R$, on pose $f_n(x)=1+x+\dots+x^{n-1}$.
- Étudier la convergence simple de la suite de fonctions $(f_n)$. On note $f(x)$ la limite de la suite $(f_n(x))$ lorsque cette limite existe.
- On pose, pour $x\in ]-1,1[$, $\varphi_n(x)=f(x)-f_n(x)$. Vérifier que $$\varphi_n(x)=\frac{x^n}{1-x}.$$ Quelle est la limite de $\varphi_n$ en $1$? En déduire que la convergence n'est pas uniforme sur $]-1,1[$.
- Soit $a\in ]0,1[$. Démontrer que $(f_n)$ converge uniformément vers $f$ sur $[-a,a]$.