$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
Bibm@th

Image numérique - Bibm@th.net

Enoncé
Soit $E$ un espace vectoriel euclidien et $u$ un endomorphisme symétrique de $u$. On note $m$ la plus petite et $M$ la plus grande des valeurs propres de $u$. On appelle image numérique de $u$ et on note $W(u)$ l'ensemble $\{\langle u(x),x\rangle;\ x\in E,\ \|x\|=1\}$. Le but de l'exercice est de démontrer que $1\in W(u)$ si et seulement si $1\in [m,M]$.
  1. Démontrer que, pour tout $x\in E$, on a $m\|x\|^2\leq \langle u(x),x\rangle\leq M\|x\|^2$. Que peut-on en conclure?
  2. Soit $e,f\in E$ de norme $1$ tels que $u(e)=me$ et $u(f)=Mf$. Pour $\theta\in\mathbb R$, on pose $g(\theta)=(\cos\theta)e+(\sin\theta)f$ et $h(\theta)=\langle u(g(\theta)),g(\theta)\rangle$. Calculer $h(0)$ et $h(\pi)$. Que peut-on en déduire?
Indication
Corrigé