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Exercice 1 - Image numérique [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $E$ un espace vectoriel euclidien et $u$ un endomorphisme symétrique de $E$. On note $m$ la plus petite et $M$ la plus grande des valeurs propres de $u$. On appelle image numérique de $u$ et on note $W(u)$ l'ensemble $\{\langle u(x),x\rangle;\ x\in E,\ \|x\|=1\}$. Le but de l'exercice est de démontrer que $1\in W(u)$ si et seulement si $1\in [m,M]$.
  1. Démontrer que, pour tout $x\in E$, on a $m\|x\|^2\leq \langle u(x),x\rangle\leq M\|x\|^2$. Que peut-on en conclure?
  2. Soit $e,f\in E$ de norme $1$ tels que $u(e)=me$ et $u(f)=Mf$. Pour $\theta\in\mathbb R$, on pose $g(\theta)=(\cos\theta)e+(\sin\theta)f$ et $h(\theta)=\langle u(g(\theta)),g(\theta)\rangle$. Calculer $h(0)$ et $h(\pi/2)$. Que peut-on en déduire?
Indication
Corrigé