Intégrale de Dirichlet - Bibm@th.net

Le but de cet exercice est de calculer la valeur de $I=\int_0^{+\infty}\frac{\sin t}tdt$. Pour chaque entier $n$, on note $$I_n=\int_0^{\pi/2}\frac{\sin \big((2n+1)t\big)}{\sin t}dt\textrm{ et }J_n=\int_0^{\pi/2}\frac{\sin \big((2n+1)t\big)}{t}dt.$$

1. Justifier que, pour tout $n\geq 0$, $I_n$ et $J_n$ sont bien définis.
2. Montrer que, pour tout $n\geq 1$, $I_n-I_{n-1}=0$. En déduire la valeur de $I_n$.
3. Soit $\phi:[0,\pi/2]\to\mathbb R$ de classe $C^1$. Montrer, à l'aide d'une intégration par parties, que $\int_0^{\pi/2}\phi(t)\sin\big((2n+1)t\big)dt$ tend vers 0.
4. Démontrer que la fonction $t\mapsto \frac 1t-\frac 1{\sin t}$ se prolonge en une fonction de classe $C^1$ sur $[0,\pi/2]$.
5. En déduire que $J_n-I_n\to 0$.
6. Démontrer, en utilisant un changement de variables, que $J_n\to I$.
7. En déduire la valeur de $I$.