Un espace de suites - Bibm@th.net

On note $\ell^1$ l'espace vectoriel des suites $x=(x(k))_{k\in\mtn}$ réelles vérifiant : $$\|x\|=\sum_{k=0}^{+\infty}|x(k)|<+\infty.$$ On admettra que l'on définit ainsi une norme sur $\ell^1$. On cherche à prouver que $\ell^1$ est un espace de Banach. Soit donc $(x_n)_{n\in\mtn}$ une suite de Cauchy d'éléments de $\ell^1$. Etant donné $\veps>0$, il existe donc $N(\veps)\in\mtn$ tel que, si $n,l\geq N(\veps)$, alors : $$\|x_n-x_l\|\leq\veps.$$

1. Montrer qu'on a alors, pour tout $k\in\mtn$, et pour tous $n,l\geq N(\veps)$ $$\left|x_n(k)-x_l(k)\right|\leq\veps.$$
2. Montrer que $\lim_{n\to+\infty}x_n(k)$ existe pour tout $k\in\mtn$.
3. Montrer qu'il existe $K\in\mtn$ tel que $$\sum_{k\geq K}|x_{N(\veps)}(k)|\leq \veps.$$
4. Montrer que pour tout $L\geq K$, on a : $$\sum_{K\leq k\leq L}|x(k)|\leq2\veps.$$
5. En déduire que l'on a $x\in\ell^1$, et que : $$\lim_{n\to+\infty}\|x_n-x\|=0.$$