Pas une bonne norme! - Bibm@th.net
Enoncé
Soit $E$ l'espace vectoriel des fonctions continues de $[-1,1]$ à
valeurs dans $\mtr$. On définit une norme sur $E$ en posant
$$\|f\|_1=\int_{-1}^1 |f(t)| \,dt.$$ On va montrer que $E$ muni de
cette norme n'est pas complet. Pour cela, on définit une suite
$(f_n)_{n\in\mtn^*}$ par
\[f_n(t)=\begin{cases} -1 &\text{si } -1\le t \le -\frac1n\\
nt &\text{si } -\frac1n\le t \le \frac1n\\
1 &\text{si } \frac1n \le t\le 1.
\end{cases}\]
- Vérifier que $f_n\in E$ pour tout $n\ge 1$.
- Montrer que $$\|f_n-f_p\|_1\le \sup(\frac2n,\frac2p)$$ et en déduire que $(f_n)$ est de Cauchy.
- Supposons qu'il existe une fonction $f\in E$ telle que $(f_n)$ converge vers $f$ dans $(E,\|\cdot\|_1)$. Montrer qu'alors on a $$\lim_{n\rightarrow+\infty}\int_{-1}^{-\alpha} |f_n(t)-f(t)|\, dt=0 \qquad \text{et} \qquad \lim_{n\rightarrow+\infty}\int_{\alpha}^1 |f_n(t)-f(t)|\, dt=0$$ pour tout $0<\alpha<1$.
- Montrer qu'on a $$\lim_{n\rightarrow+\infty}\int_{-1}^{-\alpha} |f_n(t)+1|\, dt=0 \qquad \text{et} \qquad \lim_{n\rightarrow+\infty}\int_{\alpha}^1 |f_n(t)-1|\, dt=0$$ pour tout $0<\alpha<1$. En déduire que \begin{align*} &f(t)=-1\qquad &\forall t\in[-1,0[\\ &f(t)=1\qquad &\forall t\in ]0,1]. \end{align*} Conclure.