Corrigé On pose $E=\mathbb R_n[X]$. L'idée est que toutes les normes sont équivalentes sur $E$,
et on va utiliser deux normes différentes, chacune étant bien adaptée à une partie du problème.
La première est
$$\|P\|_1=\int_0^1 |P(t)|dt$$
dont on sait que c'est une norme. D'autre part, pour $P(X)=a_n X^n+\dots+a_1 X+a_0$, on pose
$$N(P)=\sup_{k}|a_k|.$$
Il s'agit aussi d'une norme sur $E$. En utilisant $N$, on vérifie aisément que $E_n$ est une partie
fermée de $E$. En effet, l'application linéaire $\phi(P)=a_n$, où $P(X)=a_n X^n+\dots+a_1 X+a_0$, est
continue puisqu'elle vérifie
$$|\phi(P)|\leq N(P).$$
On conclut alors de la façon suivante : si $\inf_{P\in E_n}\int_0^1|P(t)|dt=\inf_{P\in E_n}\|P\|_1=0$,
on peut trouver une suite $(P_k)$ de $E_n$ telle que $\|P_k\|_1\to 0$. Autrement dit, $(P_k)$ converge
vers 0. Mais puisque $E_n$ est fermé, on aurait $0\in E_n$ ce qui n'est pas le cas.