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Enoncé 

Soit $E=\mathcal C([0,1],\mathbb R)$. Pour $f\in E$, on pose
$$\|f\|_1=\int_0^1 |f(t)|dt,$$
dont on admettra qu'il s'agit d'une norme sur $E$. Soit
$\phi$ l'endomorphisme de $E$ défini par
$$\phi(f)(x)=\int_0^x f(t)dt.$$
- Justifier la terminologie : "$\phi$ est un endomorphisme de $E$."
- Démontrer que $\phi$ est continue.
- Pour $n\geq 0$, on considère $f_n$ l'élément de $E$ défini par $f_n(x)=ne^{-nx}$, $x\in[0,1]$. Calculer $\|f_n\|_1$ et $\|\phi(f_n)\|_1$.
- On pose $\|\!|\phi\|\!|=\sup_{f\neq 0_E}\frac{\|\phi(f)\|_1}{\|f\|_1}$. Déterminer $\|\!|\phi\|\!|$.