Corrigé On va démontrer que $N$ est la norme issue d'un produit scalaire (remarquons que pour le moment, nous n'avons pas encore prouvé que $N$ est toujours définie). Pour cela, on procède par polarisation, et pour $x=(a,b)$, $x'=(a',b')$, on pose
$$\phi(x,x')=aa'+a'b+ab'+5bb'.$$
$\phi$ est clairement une forme bilinéaire symétrique sur $\mathbb R^2$, il reste à voir qu'elle est définie et positive. Mais on a
$$\phi(x,x)=a^2+2ab+5b^2=(a+b)^2+4b^2$$
(l'idée est ici de reconnaitre dans $a^2+2ab$ le début du développement d'un carré). On en déduit que l'on a toujours $\phi(x,x)\geq 0$ et de plus, si $\phi(x,x)=0$, alors on a $(a+b)=0$ et $b=0$, ce qui entraîne bien sûr $a=b=0$. Ainsi, $N$ est la norme associée au produit scalaire $\phi$.