Polynômes annulateurs de $A$ et propriétés de $A$ - Bibm@th.net
Exercice 1 - Polynômes annulateurs de $A$ et propriétés de $A$ [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $n\geq 1$ et $A\in\mathcal M_n(\mathbb R)$.
- Démontrer que si $\omega$ est une valeur propre de $A$ de multiplicité $s$, alors $\bar\omega$ est une valeur propre de $A$ de multiplicité $s$.
- On suppose que $A^3-3A-4I_n=0.$ Montrer que $A$ est de déterminant strictement positif.
- On suppose que $A^2+A+I_n=0$. Montrer que $n$ est pair.
- On suppose que $A^3+A^2+A=0$. Montrer que le rang de $A$ est pair.
- On suppose que $A^3+A^2+A=0$. Démontrer que $\textrm{Tr}(A)\in\mathbb Z^-$.