$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
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Différentiabilité à paramètres - Bibm@th.net

Exercice 1 - Différentiabilité à paramètres [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
  1. Démontrer que, pour tous $(x,y)$ réels, alors $|xy|\leq x^2-xy+y^2$.
  2. Soit $f$ la fonction de $\mtr^2$ dans $\mtr$ définie par $f(0,0)=0$ et $f(x,y)=(x^py^q)/(x^2-xy+y^2)$ si $(x,y)\neq (0,0)$, où $p$ et $q$ sont des entiers naturels non nuls. Pour quelles valeurs de $p$ et $q$ cette fonction est-elle continue?
  3. Montrer que si $p+q=2$, alors $f$ n'est pas différentiable.
  4. On suppose que $p+q=3$, et que $f$ est différentiable en $(0,0)$. Justifier qu'alors il existe deux constantes $a$ et $b$ telles que $f(x,y)=ax+by+o(\|(x,y)\|)$. En étudiant les applications partielles $x\mapsto f(x,0)$ et $y\mapsto f(0,y)$, justifier que $a=b=0$. Conclure, à l'aide de $x\mapsto f(x,x)$, que $f$ n'est pas différentiable en $(0,0)$.
Indication
Corrigé