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Exemples de groupes - Bibm@th.net

Exercice 1

- Exemples de groupes [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]

Montrer que les lois suivantes munissent l'ensemble $G$ indiqué d'une structure de groupe, et préciser s'il est abélien :

$x\star y=\frac{x+y}{1+xy}$ sur $G=]-1,1[$;
$(x,y)\star (x',y')=(x+x',ye^{x'}+y'e^{-x})$ sur $G=\mathbb R^2$;

Indication

Corrigé

$(G,\star)$ est un groupe car
- $\star$ est une loi de composition interne sur $G$ : en effet, si $x,y\in G$, alors $x\star y\in G$. Pour prouver cela, fixons $y\in[-1,1]$ et étudions la fonction définie sur $[-1,1]$ par $$f(t)=\frac{t+y}{1+ty}.$$ Elle est dérivable sur $[-1,1]$, et sa dérivée vérifie $$f'(t)=\frac{1-y^2}{(1+ty)^2}> 0\textrm{ sur }]-1,1[.$$ $f$ est donc strictement croissante sur $[-1,1]$ et on a $$f(-1)< x\star y=f(x)< f(1).$$ Comme $f(-1)=(-1+y)/(1-y)=-1$ et $f(1)=(1+y)/(1+y)=1$, on obtient bien que $x\star y\in G$.
- la loi est associative : pour tout $(x,y,z)\in G^3$, \begin{eqnarray*} x\star (y\star z)&=&\frac{x+(y\star z)}{1+x(y\star z)}\\ &=&\frac{x+\frac{y+z}{1+yz}}{1+x\frac{y+z}{1+yz}}\\ &=&\frac{x+y+z+xyz}{1+xy+xz+yz}, \end{eqnarray*} et un calcul similaire donne le même résultat pour $(x\star y)\star z$.
- $0$ est un élément neutre pour la loi $\star$. En effet, $$x\star 0=0\star x=\frac{x+0}{1+0}=x.$$
- Tout élément $x\in G$ est inversible, d'inverse $-x$. En effet, on a $$x\star (-x)=(-x)\star x=\frac{x-x}{1-x^2}=0.$$
De plus, le groupe est clairement abélien.
Il est clair que $\star$ est une loi de composition interne sur $\mathbb R^2$. De plus,
- cette loi est associative : \begin{eqnarray*} (x,y)\star \big((x',y')\star (x'',y'')\big)&=&(x,y)\star (x'+x'',y'e^{x''}+y''e^{-x'})\\ &=&(x+x'+x'',ye^{x'+x''}+y'e^{x''}e^{-x}+y''e^{-x'}e^{-x})\\ &=&(x+x'+x'',ye^{x'+x''}+y'e^{-x+x''}+y''e^{-x-x'}). \end{eqnarray*} De même, \begin{eqnarray*} \big((x,y)\star (x',y')\big)\star (x'',y'')&=&(x+x',ye^{x'}+y'e^{-x})\star (x'',y'')\\ &=&(x+x'+x'',(ye^{x'}+y'e^{-x})e^{x''}+y''e^{-x-x'})\\ &=&(x+x'+x'',ye^{x'+x''}+y'e^{-x+x''}+y''e^{-x-x'}) \end{eqnarray*} et donc on a bien $(x,y)\star \big((x',y')\star (x'',y'')\big)=\big((x,y)\star (x',y')\big)\star (x'',y'')$.
- $(0,0)$ est un élément neutre de $G$ : $$(x,y)\star (0,0)=(x+0,ye^{0}+0e^{-x})=(x,y)$$ $$(0,0)\star (x,y)=(0+x,0e^{x}+ye^{-0})=(x,y).$$
- Tout élément $(x,y)\in G$ admet un inverse donnée par $(-x,-y)$. En effet, $$(x,y)\star (-x,-y)=(x-x,ye^{-x}-ye^{-x})=(0,0),$$ $$(-x,-y)\star (x,y)=(-x+x,-ye^{x}+ye^{x})=(0,0).$$
De plus, le groupe n'est pas abélien, car $$(1,0)\star (0,1)=(1,e^{-1})\textrm{ tandis que }(0,1)\star (1,0)=(1,e^{1}).$$