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Transformation d'Abel - Bibm@th.net

Exercice 1

- Transformation d'Abel [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]

On considère deux suites complexes $(u_n)$ et $(v_n)$. On s'intéresse à la convergence de la série $\sum_n u_nv_n$. Pour $n\geq 1$, on note $s_n=\sum_{k=0}^n u_k$.

Montrer que, pour tout $(p,q)\in\mathbb N^2$ tel que $p\leq q$, on a : $$\sum_{k=p}^q u_kv_k=s_qv_q-s_{p-1}v_p+\sum_{k=p}^{q-1}s_k(v_k-v_{k+1}).$$
Montrer que si la suite $(s_n)$ est bornée, et si la suite $(v_n)$ est à valeurs dans $\mathbb R^+$, décroissante et de limite nulle, alors $\sum_n u_nv_n$ est convergente.
Montrer que la série $\sum_{n\geq 1}\frac{\sin(n\theta)}{\sqrt n}$ converge pour tout $\theta\in\mathbb R$.

Indication

Corrigé

On écrit successivement : \begin{eqnarray*} \sum_{k=p}^q u_kv_k&=&\sum_{k=p}^q (s_{k}-s_{k-1})v_k\\ &=&\sum_{k=p}^q s_{k}v_k-\sum_{k=p}^q s_{k-1} v_k\\ &=&\sum_{k=p}^{q}s_kv_{k}-\sum_{k=p-1}^{q-1} s_k v_{k+1}\\ &=&\sum_{k=p}^{q-1} s_k(v_k-v_{k+1})+s_qv_q-s_{p-1}v_{p}. \end{eqnarray*}
On va appliquer le critère de Cauchy pour démontrer la convergence de la série. Pour cela, fixons $\veps>0$ et soit $N$ un entier tel que, pour $n\geq N$, on a $|v_n|\leq\veps$. Soient $p,q\geq N$. Fixons aussi $M>0$ tel que $|s_n|\leq M$ pour tout $n\in \mathbb N$. D'après l'écriture que nous avons obtenue à la première question et l'inégalité triangulaire, on a $$\left|\sum_{k=p}^q u_kv_k\right|\leq M\veps+M\veps+\sum_{k=p}^{q-1}|s_k(v_k-v_{k+1})|.$$ Puisque $|s_k|\leq M$ et que $v_k-v_{k+1}\geq 0$, on trouve \begin{eqnarray*} \left|\sum_{k=p}^q u_kv_k\right|&\leq& M\veps+M\veps+M\sum_{k=p}^{q-1}(v_k-v_{k+1})\\ &\leq&M\veps+M\veps+M(v_p-v_q)\\ &\leq&3M\veps. \end{eqnarray*} D'après le critère de Cauchy, la série est convergente.
En utilisant la question précédente, il suffit de prouver que la suite $(S_n)$ définie par $$S_n=\sum_{k=0}^n \sin(k\theta)$$ est bornée. Pour cela, on écrit $\sin(k\theta)=\Im m(e^{ik\theta})$ et on utilise la somme d'une série trigonométrique : $$\sum_{k=0}^n \sin(k\theta)=\Im m\left(\sum_{k=0}^n e^{ik\theta}\right).$$ Mais on a, pour $\theta\notin2\pi\mathbb Z$, \begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^n e^{ik\theta}&=&\frac{1-e^{i(n+1)\theta}}{1-e^{i\theta}}\\ &=&\frac{e^{i\frac{(n+1)}{2}\theta}}{e^{i\theta/2}}\times\frac{e^{-i(n+1)\theta/2}-e^{+i(n+1)\theta/2}}{e^{-i\theta/2}-e^{i\theta/2}}\\ &=&e^{in\theta/2}\frac{\sin\left(\frac{(n+1)\theta}{2}\right)}{\sin\left(\frac{\theta}{2}\right)}. \end{eqnarray*} Revenant à $S_n$, on trouve, pour $\theta\notin2\pi\mathbb Z$, $$S_n=\frac{\sin\left(\frac{n\theta}{2}\right)\sin\left(\frac{(n+1)\theta}{2}\right)}{\sin\left(\frac{\theta}{2}\right)}.$$ Ceci est bien bornée indépendamment de $n$ par $\frac{1}{|\sin(\theta/2)|}$. Si $\theta\in2\pi\mathbb Z$, alors bien sûr $S_n=0$.