Méthodes seconde : Puissances, racines, identités remarquables, équations
Pour écrire une racine carrée $\sqrt n$ sous la forme $a\sqrt b$ avec $a$ et $b$ des entiers et $b$ le plus petit possible, on écrit $n$ comme un produit dans lequel figure un carré parfait, $n=a^2\times b$, puis on utilise les propriétés $\sqrt{x\times y}=\sqrt x\times \sqrt y$ et $\sqrt{x^2}=x$ si $x>0$ (voir cet exercice).
Pour écrire un nombre décimal sous forme scientifique, on déplace la virgule du nombre pour qu'il n'y ait qu'un seul chiffre non nul non nul à gauche de la virgule.
- si on décale la virgule vers la gauche, la puissance de $10$ qui intervient est égale au nombre de rangs de décalage; Par exemple, si on veut écrire $1782,3$ sous forme scientifique, on doit décaler la virgule trois fois vers la gauche, et l'écriture scientifique est $1,7823\times 10^3$.
- si on décale la virgule vers la droite, la puissance de $10$ qui intervient est égale à l'opposé du nombre de rangs de décalage; par exemple, si on veut écrire $0,0323$ sous forme scientifique, on doit décaler la virgule de deux unités vers la droite, et l'écriture scientifique est $3,23\times 10^{-2}$
Pour comparer des nombres donnés en écriture scientifique, on commence par comparer les exposants des puissances de 10, ce qui nous donne un premier classement. On compare ensuite le nombre décimal intervenant devant la puissance de 10 (voir cet exercice).
Pour démontrer que deux écritures fractionnaires $\frac ab$ et $\frac cd$ sont égales, on peut :
- calculer leur différence et démontrer qu'elle est nulle
- utiliser que $\frac ab=\frac cd$ si et seulement si $ad=bc$
On utilise la forme développée pour
- calculer des images
- faire des simplifications et ramener des équations du second degré à des équations du premier degré (voir cet exercice).
On utilise la forme factorisée pour :
- résoudre des équations, en utilisant le fait qu'un produit de facteurs est nul si et seulement si l'un des facteurs est nul (voir cet exercice).
- établir des tableaux de signe.
Pour résoudre une équation du premier degré,
- on commence par développer et réduire (si c'est nécessaire) chaque membre de l'équation.
- on isole l'inconnue dans un des deux membres, et on met les autres termes dans l'autre membre. Pour cela, on utilise la règle suivante : on ne change pas une égalité lorsqu'on ajoute ou retranche un même nombre à ses deux membres.
- on calcule la valeur de l'inconnue en multipliant chaque membre de l'équation par l'inverse du coefficient devant l'inconnue. Pour cela, on utilise la règle suivante : on ne change pas une égalité lorsqu'on multiplie par un même nombre non nul chacun de ses membres
Pour résoudre une équation produit nul, on utilise la règle suivante : un produit de facteurs est nul si et seulement si l'un de ses facteurs est nul (voir cet exercice).
Si on doit résoudre une équation qui n'est pas une équation du premier degré, qui n'est pas un produit nul, et où l'inconnue n'apparaît pas aux dénominateurs, alors on essaie de se ramener à une équation produit nul ou à une équation de premier degré. Pour cela, on peut :
- reconnaitre une identité remarquable
- factoriser en identifiant un facteur commun (voir cet exercice).
- développer en espérant que les termes se simplifient (voir cet exercice).
Si on doit résoudre une équation quotient où l'inconnue apparaît aux dénominateurs, on peut
- se ramener à une équation du type $\cdots=0$ en la transformant, puis en réduisant au même dénominateur;
- puis utiliser qu'un quotient est nul si et seulement si son numérateur est nul et son dénominateur n'est pas nul (pour que le quotient soit bien défini). On se ramène alors à une équation sans quotient qu'on traite avec l'une des méthodes énoncées ci-dessus.
Attention aux valeurs interdites! Une autre possibilité est d'utiliser le produit en croix (voir cet exercice ou cet exercice).