Exercices sur les ensembles de nombres - Pour apprendre

Puisque $14\times 7=98<100$ et $15\times 7=105\geq 100$, le plus petit multiple de $7$ compris entre $100$ et $150$ est $105$. On considère ensuite les multiples suivants, jusqu'à atteindre $150$. Les multiples de $7$ entre $100$ et $150$ sont donc $105, 112, 119, 126, 133, 140, 147$.

Non! En effet, $p^2$ admet 3 diviseurs distincts, qui sont $1$, $p$ et $p^2$.

On va décomposer chaque nombre en produit de facteurs premiers, puis écrire tous les produits possibles utilisant ces facteurs premiers.

1. On a $36=6\cdot 6=2^2\cdot 3^2$. Les diviseurs de $6$ sont donc $2^0\cdot 3^0=1$, $2^1\cdot 3^0=2$, $2^2\cdot 3^0=4$, $2^0\cdot 3^1=3$, $2^1\cdot 3^1=6$, $2^2\cdot 3^1=12$, $2^0\cdot 3^2=9$, $2^1\cdot 3^2=18$, $2^2 \cdot 3^2=36$, c'est-à-dire $1,2,3,4,6,9,12,18,36$. On peut aussi les déterminer à la main ou en programmant une fonction.
2. La même méthode donne $1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60$.

On écrit ces nombres sous la forme $p/10^n$, avec $p$ et $n$ des entiers. On trouve $$\frac 34=\frac{3\times 25}{4\times 25}=\frac{75}{100},$$ $$\frac{13}{20}=\frac{3\times 5}{20\times 5}=\frac{15}{100},$$ $$\frac{7}{250}=\frac{7\times 4}{250\times 4}=\frac{28}{1000}$$ $$0,\!71=\frac{71}{100},$$ $$0,\!0123=\frac{123}{10000}.$$

On écrit facilement que $\frac 23=\frac 69$ et donc que $$\frac29<\frac 23<\frac 79.$$ On remarque ensuite que $$\frac 37<\frac 12<\frac 23.$$ Reste à comparer $\frac 29$ et $\frac 37$. En mettant au même dénominateur, $$\frac 29=\frac{14}{63}<\frac{27}{63}=\frac{3}{7}.$$ On obtient finalement, dans l'ordre décroissant : $$\frac 79>\frac 23>\frac 12>\frac 37>\frac 29.$$