$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
Bibm@th

Préparer la math sup : les suites

Pour réviser…
  Étudier une suite, c'est souvent déterminer si elle converge, et dans ce cas, déterminer sa limite. Sauriez-vous le faire sur l'exemple suivant?
Enoncé
Étudier la nature des suites suivantes, et déterminer leur limite éventuelle : $$\begin{array}{lcl} \displaystyle \mathbf 1.\ u_n=\frac{\sin(n)+3\cos\left(n^2\right)}{\sqrt{n}}&&\displaystyle \mathbf 2.\ u_n=\frac{2n+(-1)^n}{5n+(-1)^{n+1}}\\ \displaystyle \mathbf 3.\ u_n=\frac{n^3+5n}{4n^2+\sin(n)+\ln(n)}&&\displaystyle \mathbf 4.\ u_n= \sqrt{2n+1}-\sqrt{2n-1}\\ \displaystyle \mathbf 5.\ u_n=3^ne^{-3n}. \end{array}$$
Indication
Corrigé
  Un des outils fondamentaux pour les suites est le raisonnement par récurrence. Voici un exercice où le raisonnement par récurrence sera un peu subtil…
Enoncé
Soit $(u_n)$ la suite de nombres réels définie par $u_0=-1,\ u_1=-1$ et $u_{n+2}=(n+1)u_{n+1}-(n+2)u_n$.
  1. Calculer les quinze premiers termes de la suite.
  2. Que peut-on conjecturer pour $u_{n+1}-u_n$?
  3. En déduire une conjecture sur la suite $(u_n)$.
  4. Démontrer cette dernière conjecture.
Indication
Corrigé
  En Math Sup, vous allez aussi beaucoup étudier de suites définies par une somme. Voici deux exercices d'entraînement sur ce thème.
Enoncé
  1. Déterminer deux réels $a$ et $b$ tels que $$\frac{1}{k^2-1}=\frac{a}{k-1}+\frac{b}{k+1}.$$
  2. En déduire la limite de la suite $$u_n=\sum_{k=2}^n \frac{1}{k^2-1}.$$
  3. Sur le même modèle, déterminer la limite de la suite $$v_n=\sum_{k=0}^n\frac{1}{k^2+3k+2}.$$
Indication
Corrigé
Enoncé
Montrer que, pour tout $n\in\mathbb N^*$, on a $$\sqrt{n+1}-\sqrt n\leq\frac{1}{2\sqrt n}.$$ En déduire le comportement de la suite $(u_n)$ définie par $$u_n=1+\frac{1}{\sqrt 2}+\dots+\frac{1}{\sqrt n}.$$
Indication
Corrigé
Pour approfondir…
  En Terminale S, il n'est pas fait explicitement de lien entre continuité des fonctions et limite des suites. Le théorème suivant est très important, et sera à la base de l'étude de beaucoup de suites de Math Sup.
Théorème : Soit $(u_n)$ une suite de nombres réels convergeant vers $l$, et soit $f:\mathbb R\to\mathbb R$ une fonction continue en $l$. Alors la suite $(f(u_n))$ converge vers $f(l)$.
Par exemple, posons $v_n=\ln\left(2+\frac 2n\right)$. Alors la suite $(v_n)$ converge vers $\ln(2)$. En effet, $v_n=\ln(u_n)$ où $u_n=2+\frac 2n$ converge vers 2, et la fonction logarithme est continue en 2. Ceci va être le point de départ de l'exercice suivant…
Enoncé
Étudier la nature des suites suivantes, et déterminer leur limite éventuelle : $$\begin{array}{lcl} \displaystyle \mathbf 1.\ u_n=\ln\left(2n^2-n\right)-\ln(3n+1)&&\displaystyle \mathbf 2.\ u_n=\sqrt{n^2+n+1}-\sqrt{n^2-n+1}\\ \displaystyle \mathbf 3.\ u_n=\frac{a^n-b^n}{a^n+b^n},\ a,b\in ]0,+\infty[&& \displaystyle \mathbf 4.\ u_n=\frac{\ln(n+e^n)}{n}\\ \displaystyle \mathbf 5.\ u_n=\frac{\ln(1+\sqrt n)}{\ln(1+n^2)}. \end{array} $$
Indication
Corrigé
Enoncé
Soit $(u_n)_{n\geq 1}$ la suite définie par $$u_n=\left(1+\frac{1}{n^2}\right)\left(1+\frac{2}{n^2}\right)...\left(1+\frac{n-1}{n^2}\right)\left(1+\frac{n}{n^2}\right).$$ On pose $v_n=\ln(u_n)$.
  1. Montrer, pour tout $x\geq 0$, l'inégalité $$x-\frac{x^2}{2}\leq \ln(1+x)\leq x.$$
  2. En déduire que $$\frac{n+1}{2n} - \frac{(n+1)(2n+1)}{12n^3}\leq v_n\leq \frac{n+1}{2n}.$$ On admettra que $$\sum_{k=1}^n k^2\,=\,\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}.$$
  3. Montrer que $(v_n)$ converge, et préciser sa limite.
  4. Montrer que $(u_n)$ converge, et préciser sa limite.
Indication
Corrigé
  N'oublions pas non plus un exercice de manipulation de la notion de convergence…
Enoncé
Soient $(u_n)$ et $(v_n)$ deux suites réelles. Dire si les assertions suivantes sont vraies ou fausses. Lorsqu'elles sont vraies, les démontrer. Lorsqu'elles sont fausses, donner un contre-exemple.
  1. Si $(u_n)$ et $(v_n)$ divergent, alors $(u_n+v_n)$ diverge.
  2. Si $(u_n)$ et $(v_n)$ divergent, alors $(u_n\times v_n)$ diverge.
  3. Si $(u_n)$ converge et $(v_n)$ diverge, alors $(u_n+v_n)$ diverge.
  4. Si $(u_n)$ converge et $(v_n)$ diverge, alors $(u_n\times v_n)$ diverge.
Indication
Corrigé
Pour préparer la suite…
  En Math Sup, vous travaillerez beaucoup plus qu'en Terminale S sur la définition d'une suite convergente et de sa limite. Cela dit, l'exercice suivant est déjà abordable avec des connaissances de Terminale S.
Enoncé
Soient $(u_n)$ et $(v_n)$ deux suites de nombres réels. On suppose que $(u_n)$ converge vers $a$, que $(v_n)$ converge vers $b$, et que $a<b$. Démontrer que pour tous les entiers à partir d'un certain rang, on a $u_n<v_n$. On n'utilisera que des arguments accessibles à un élève de Terminale S.
Indication
Corrigé
  En Math Sup, vous étudierez la notion très importante de suites adjacentes. Cette notion est déjà abordable avec des outils de Terminale, en voici un aperçu. De plus, l'exercice suivant vous fera manipuler la définition et les théorèmes fondamentaux appris sur les limites.
Exercice 9 - Suites adjacentes en Terminale [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Deux suites $(u_n)$ et $(v_n)$ sont dites adjacentes si la suite $(u_n)$ est croissante, la suite $(v_n)$ est décroissante et $\lim_{n\to+\infty}v_n-u_n=0$.
  1. Question préliminaire : soit $(x_n)$ une suite décroissante de réels tels que $(x_n)$ converge vers 0. Démontrer que pour tout $n\in\mathbb N$, on a $x_n\geq 0$.
  2. On fixe désormais $(u_n)$ et $(v_n)$ deux suites adjacentes. On pose, pour tout $n\in\mathbb N$, $w_n=v_n-u_n$. Justifier que la suite $(w_n)$ est décroissante.
  3. En déduire que pour tout $n\in\mathbb N$, on a $w_n\geq 0$.
  4. Démontrer que $(u_n)$ et $(v_n)$ convergent vers la même limite.
Indication
Corrigé
Enoncé
Soient $(u_n)$ et $(v_n)$ les deux suites définies pour $n\geq 1$ par : $$u_n=\sum_{k=0}^n\frac{1}{k!},\ \ v_n=u_n+\frac{1}{n\times n!}.$$
  1. Montrer que les suites $(u_n)$ et $(v_n)$ sont adjacentes. On note $e$ leur limite commune.
  2. Montrer que, pour tout $n\in\mathbb N^*$, $n! u_n< n! e < n!u_n+\frac 1n.$
  3. En déduire que $e$ est un nombre irrationnel (on pourra procéder par l'absurde).
  4. Écrire un algorithme donnant un encadrement de $e$ avec un écart inférieur strict à $a$, $a$ étant un réel entré par l'utilisateur.
Indication
Corrigé