Préparer la math sup : intégration
Pour réviser…
Intégrer, c'est avant tout calculer des primitives, ou des intégrales. Il faut absolument réviser cela.
Enoncé
Déterminer une primitive des fonctions suivantes sur l'intervalle considéré :
\begin{array}{lll}
\mathbf 1.\ f(x)=(3x-1)(3x^2-2x+3)^3,\ I=\mathbb R&\quad&\mathbf 2.\ f(x)=\frac{1-x^2}{(x^3-3x+2)^3},\ I=]-\infty,-2[\\
\mathbf 3.\ f(x)=\frac{(x-1)}{\sqrt{x(x-2)}},\ I=]-\infty,0[&&\mathbf 4.\ f(x)=\frac{1}{x\ln(x^2)},\ I=]1,+\infty[.
\end{array}
Exercice 2 - Fraction rationnelle avec décomposition en éléments simples [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $f(x)=\frac{5x^2+21x+22}{(x-1)(x+3)^2}$, $x\in ]1,+\infty[$.
- Démontrer qu'il existe trois réels $a$, $b$ et $c$ tels que $$\forall x\in ]1,+\infty[,\ f(x)=\frac a{x-1}+\frac b{x+3}+\frac c{(x+3)^2}.$$
- En déduire la primitive de $f$ sur $]1,+\infty[$ qui s'annule en 2.
Exercice 3 - Primitive de fractions rationnelles [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Déterminer une primitive des fractions rationnelles suivantes :
$$
\begin{array}{lll}
\mathbf 1.\ f(x)=\frac{2x^2-3x+4}{(x-1)^2}\textrm{ sur }]1,+\infty[&\quad&\mathbf 2. f(x)=\frac{2x-1}{(x+1)^2}\textrm{ sur }]-1,+\infty[ \\
\mathbf 3.\ f(x)=\frac{x}{(x^2-4)^2}\textrm{ sur }]2,+\infty[&&\mathbf 4. f(x)=\frac{24x^3+18x^2+10x-9}{(3x-1)(2x+1)^2}\textrm{ sur }]-1/2,1/3[
\end{array}
$$
Pour approfondir…
Bien souvent, on ne sait pas calculer exactement l'intégrale d'une fonction. Ce qui importe alors, c'est d'estimer
son comportement… comme dans les exercices suivants!
Enoncé
Pour $n\geq 0$, on définit
$$I_n=\int_0^1 \frac{x^n}{1+x}dx.$$
- Démontrer que la suite $(I_n)$ tend vers 0.
- Pour $n\geq 0$, calculer $I_n+I_{n+1}$.
- En déduire $\lim_{n\to+\infty}\sum_{k=0}^n \frac{(-1)^k}{k+1}$.
Enoncé
Calculer la limite de la suite $(u_n)$ dans les cas suivants :
$$\begin{array}{lll}
\mathbf 1.\ u_n=\int_0^1 x^n\ln(1+x)dx&\quad&\mathbf 2.\ u_n=\int_0^n \frac{dt}{1+e^{nt}}.
\end{array}
$$
Enoncé
On pose, pour $n\geq 1$,
$$u_n=\sum_{k=1}^n \frac1k\textrm{ et }v_n=u_n-\ln n.$$
- Démontrer que, pour tout entier naturel $k$ non nul, on a $$\frac{1}{k+1}\leq\int_k^{k+1}\frac 1xdx\leq \frac 1k.$$
- En déduire que pour tout entier $n\geq 2$, on a $$u_n-1\leq \ln n\leq u_n-\frac 1n\textrm{ et }0\leq v_n\leq 1.$$
- Démontrer que pour tout entier naturel non nul, $$v_{n+1}-v_n=\frac1{n+1}-\int_n^{n+1}\frac{dx}x.$$
- En déduire que la suite $(v_n)$ converge vers une limite $\gamma$ (que l'on ne cherchera pas à calculer). Que dire de $(u_n)$?
Enoncé
On note, pour $n\geq 1$,
$$I_n=\int_0^1 \frac 1{1+x^n}dx.$$
Soit également $\alpha\in [0,1[$.
- Démontrer que, pour tout $n\geq 1$, $$\frac{\alpha}{1+\alpha^n}\leq I_n\leq 1$$ (on pourra encadrer $\int_0^\alpha$ puis $\int_\alpha^1$).
- Démontrer que $(I_n)$ est croissante.
- Déduire des questions précédentes que $(I_n)$ converge vers $1$.
- En s'inspirant du modèle précédent, étudier $$J_n=\int_0^{\pi/2}e^{-n\sin t }dt.$$
Pour préparer la suite…
Les calculs de primitives faits en Terminale sont limités par le manque d'outils
pour y parvenir. En Math Sup, vous allez apprendre deux outils nouveaux, le changement de variables
et l'intégration par parties. Ce dernier outil est suffisamment simple pour pouvoir être prouvé
avec ce que vous savez déjà :
Enoncé
Soient $u$,$v$ deux fonctions dérivables sur un intervalle $[a,b]$, dont la dérivée est continue.
- Démontrer que, pour tout $x\in[a,b]$, on a $$u(x)v'(x)=(uv)'(x)-u'(x)v(x).$$
- En déduire que $$\int_a^b u(x)v'(x)dx=u(b)v(b)-u(a)v(a)-\int_a^b u'(x)v(x)dx.$$
Enoncé
Calculer les intégrales suivantes :
$$\mathbf{1.}\quad I=\int_0^1 xe^xdx\quad\quad\mathbf{2.}\quad J=\int_1^e x^2\ln xdx$$
Enoncé
Soient $(\alpha,\beta,n)\in\mathbb R^2\times\mathbb N$. Calculer
$$\int_\alpha^\beta(t-\alpha)^n (t-\beta)^n dt.$$