Préparer la math sup : les fonctions
Pour réviser…
Calculer des limites sera votre quotidien en Math Sup.
Révisons les méthodes vues en Terminale S.
Enoncé
Étudier les limites suivantes :
$$\begin{array}{lcl}
\displaystyle \mathbf 1.\ \frac{1}{1-x}-\frac{2}{1-x^2}\textrm{ en 1}&&\displaystyle \mathbf 2.\frac{\sqrt x-1}{x-1}\textrm{ en 1}\\
\displaystyle \mathbf 3.\ \frac{x^3+x+5}{5x^3+7x^2+8}\textrm{ en }+\infty&&
\displaystyle \mathbf 4.\ \sqrt{x^2+2x}-x\textrm{ en }+\infty\\
\displaystyle \mathbf 5.\ x^5e^{-x^2}\textrm{ en }+\infty&&\displaystyle \mathbf 6.\ \frac{x+\cos x}{x+\sin x}\textrm{ en }+\infty\\
\displaystyle \mathbf 7.\ \frac{x\ln x+7}{x^2+4}\textrm{ en }+\infty&&\displaystyle \mathbf 8. \frac{4\sin^2 x+3\cos(5x)}{x}\textrm{ en }+\infty.
\end{array}$$
Enoncé
Étudier les limites suivantes :
$$\begin{array}{lcl}
\displaystyle \mathbf 1.\ \frac{e^{3x}+2x+7}{e^x+e^{-x}}\textrm{ en }+\infty&&\displaystyle \mathbf 2.\
\frac{\sqrt{1+x}-\left(1+\frac x2\right)}{x^2}\textrm{ en }0\\
\displaystyle \mathbf 3.\ \frac{\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt x}}}{\sqrt{x+1}}\textrm{ en }+\infty&&
\displaystyle \mathbf 4.\ \frac{\sqrt{2x^2+5x+9}-3}{x}\textrm{ en }0\\
\displaystyle \mathbf 5.\ \sqrt{x+\sqrt x}-\sqrt x\textrm{ en }+\infty
\end{array}$$
Enoncé
Démontrer que les courbes d'équation $y=x^2$ et $y=1/x$ admettent une unique tangente commune.
Enoncé
Résoudre sur $\mathbb R$ les équations suivantes :
$$
\begin{array}{lll}
{\bf 1.}\ \ln(x^2-1)-\ln(2x-1)+\ln 2=0&\quad\quad&{\bf 2.}\ \ln(x+2)-\ln(x+1)=\ln(x-1).
\end{array}
$$
Pour approfondir…
Un des outils fondamentaux pour calculer des limites est la nombre dérivé et la limite du taux d'accroissement.
Par exemple, on sait que la fonction sinus est dérivable sur $\mathbb R$, et que sa dérivée est la fonction cosinus.
En écrivant
$$\frac{\sin x}{x}=\frac{\sin(x)-\sin(0)}{x-0}$$
on fait apparaître le taux d'accroissement de la fonction sinus en 0. On en déduit que
$$\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}x=1.$$
L'exercice suivant vous fait travailler autour de cela.
Exercice 5 - Calculs de limites avec le nombre dérivé [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Étudier les limites suivantes :
$$\begin{array}{lcl}
\displaystyle \mathbf 1.\ \frac{x\sin x}{1-\cos x}\textrm{ en 0}&&
\displaystyle \mathbf 2.\ \frac{\sin x-\sin 2x}{x^2}\textrm{ en 0}\\
\displaystyle \mathbf 3.\ \frac{\sin x}{\sqrt x}\textrm{ en 0}&&
\displaystyle \mathbf 4.\ \frac{\cos^2 x-1}{x}\textrm{ en 0}
\end{array}$$
Enoncé
Discuter, selon les valeurs de $a\in\mathbb R$, le nombre de solutions de l'équation
$$\frac 1{x-1}+\frac 12\ln\left|\frac{1+x}{1-x}\right|=a.$$
Enoncé
Soit $g:\mathbb R_+\to\mathbb R$ définie par
$g(x)=(x-2)e^{x}+(x+2)$. Démontrer que $g\geq 0$ sur $\mathbb R_+$.
Pour préparer la suite…
En Terminale, la fonction exponentielle est introduite comme l'unique fonction
$y:\mathbb R\to\mathbb R$ dérivable et vérifiant,
$$\left\{
\begin{array}{l}
\forall x\in\mathbb R,\ y'(x)=y(x)\\
y(0)=1
\end{array}\right.$$
On dit que la fonction exponentielle est solution de l'équation différentielle $y'(x)=y(x)$. Une équation différentielle
désigne une équation dont les solutions sont des fonctions, équation qui porte sur une relation entre
la fonction et sa dérivée.
Les équations différentielles sont très importantes en physique; certaines équations différentielles simples
seront étudiées dès le début de la Math Sup. Voici comment on procède :
Enoncé
On se propose de chercher toutes les fonctions $y:\mathbb R\to\mathbb R$, dérivables, et vérifiant :
$$\forall x\in\mathbb R, y'(x)+2y(x)=x+1.$$
On notera $(E)$ cette équation.
- Équation homogène. On va d'abord chercher toutes les fonctions $y:\mathbb R\to\mathbb R$, dérivables,
et vérifiant
$$\forall x\in\mathbb R,\ y'(x)+2y(x)=0.$$
On notera $(H)$ cette équation.
- Soit $C\in\mathbb R$. Vérifier que la fonction $x\mapsto C\exp(-2x)$ est solution de $(H)$.
- Réciproquement, soit $y$ une solution de $(H)$. On pose, pour tout $x\in\mathbb R$, $f(x)=y(x)\exp(2x)$. Démontrer que $f$ est constante. En déduire toutes les solutions de $(H)$.
- Retour à l'équation originale :
- Déterminer deux réels $a,b$ tels que $y_0(x)=ax+b$ soit solution de $(E)$.
- Soit $C\in\mathbb R$. Vérifier que la fonction $y$ définie sur $\mathbb R$ par $y(x)=y_0(x)+C\exp(-2x)$ est solution de $(E)$.
- Réciproquement, soit $y$ une solution de $(E)$. On pose $z=y-y_0$. Démontrer que $z$ est solution de $(H)$.
- En déduire toutes les solutions de $(E)$.
- Sur le même modèle, déterminer l'ensemble des fonctions $y:\mathbb R\to\mathbb R$ dérivables telles que $$\forall x\in\mathbb R,\ y'-7y=-7x^2-5x-6.$$