$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
Bibm@th

Préparer la math sup : les fonctions

Pour réviser…
  Calculer des limites sera votre quotidien en Math Sup. Révisons les méthodes vues en Terminale S.
Enoncé
Étudier les limites suivantes : $$\begin{array}{lcl} \displaystyle \mathbf 1.\ \frac{1}{1-x}-\frac{2}{1-x^2}\textrm{ en 1}&&\displaystyle \mathbf 2.\frac{\sqrt x-1}{x-1}\textrm{ en 1}\\ \displaystyle \mathbf 3.\ \frac{x^3+x+5}{5x^3+7x^2+8}\textrm{ en }+\infty&& \displaystyle \mathbf 4.\ \sqrt{x^2+2x}-x\textrm{ en }+\infty\\ \displaystyle \mathbf 5.\ x^5e^{-x^2}\textrm{ en }+\infty&&\displaystyle \mathbf 6.\ \frac{x+\cos x}{x+\sin x}\textrm{ en }+\infty\\ \displaystyle \mathbf 7.\ \frac{x\ln x+7}{x^2+4}\textrm{ en }+\infty&&\displaystyle \mathbf 8. \frac{4\sin^2 x+3\cos(5x)}{x}\textrm{ en }+\infty. \end{array}$$
Indication
Corrigé
Enoncé
Étudier les limites suivantes : $$\begin{array}{lcl} \displaystyle \mathbf 1.\ \frac{e^{3x}+2x+7}{e^x+e^{-x}}\textrm{ en }+\infty&&\displaystyle \mathbf 2.\ \frac{\sqrt{1+x}-\left(1+\frac x2\right)}{x^2}\textrm{ en }0\\ \displaystyle \mathbf 3.\ \frac{\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt x}}}{\sqrt{x+1}}\textrm{ en }+\infty&& \displaystyle \mathbf 4. \frac{\sqrt{2x^2+5x+9}-3}{x}\textrm{ en }0. \end{array}$$
Corrigé
  Et si maintenant, vous révisiez la notion de tangente???
Exercice 3 - Un problème de tangente [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Démontrer que les courbes d'équation $y=x^2$ et $y=1/x$ admettent une unique tangente commune.
Indication
Corrigé
  Les fonctions logarithme et exponentielle, vous les connaissez bien? C'est-ce que l'on va voir!
Enoncé
Résoudre sur $\mathbb R$ les équations suivantes : $$ \begin{array}{lll} {\bf 1.}\ \ln(x^2-1)-\ln(2x-1)+\ln 2=0&\quad\quad&{\bf 2.}\ \log_{10}(x+2)-\log_{10}(x+1)=\log_{10}(x-1). \end{array} $$
Indication
Corrigé
Pour approfondir…
  Un des outils fondamentaux pour calculer des limites est la nombre dérivé et la limite du taux d'accroissement. Par exemple, on sait que la fonction sinus est dérivable sur $\mathbb R$, et que sa dérivée est la fonction cosinus. En écrivant $$\frac{\sin x}{x}=\frac{\sin(x)-\sin(0)}{x-0}$$ on fait apparaître le taux d'accroissement de la fonction sinus en 0. On en déduit que $$\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}x=1.$$ L'exercice suivant vous fait travailler autour de cela.
Exercice 5 - Calculs de limites avec le nombre dérivé [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Étudier les limites suivantes : $$\begin{array}{lcl} \displaystyle \mathbf 1.\ \frac{x\sin x}{1-\cos x}\textrm{ en 0}&& \displaystyle \mathbf 2.\ \frac{\sin x-\sin 2x}{x^2}\textrm{ en 0}\\ \displaystyle \mathbf 3.\ \frac{\sin x}{\sqrt x}\textrm{ en 0}&& \displaystyle \mathbf 4.\ \frac{\cos^2 x-1}{x}\textrm{ en 0} \end{array}$$
Indication
Corrigé
  On étudie souvent des fonctions pour déterminer des solutions à une équation dont on ne peut pas avoir de résolution algébrique. Le prochain exercice illustre ce fait.
Enoncé
Discuter, selon les valeurs de $a\in\mathbb R$, le nombre de solutions de l'équation $$\frac 1{x-1}+\frac 12\ln\left|\frac{1+x}{1-x}\right|=a.$$
Indication
Corrigé
  On étudie aussi les variations des fonctions pour démontrer qu'elles sont positives… Comme sur l'exemple suivant :
Enoncé
Soit $g:\mathbb R_+\to\mathbb R$ définie par $g(x)=(x-2)e^{x}+(x+2)$. Démontrer que $g\geq 0$ sur $\mathbb R_+$.
Indication
Corrigé
Pour préparer la suite…
  En Terminale, la fonction exponentielle est introduite comme l'unique fonction $y:\mathbb R\to\mathbb R$ dérivable et vérifiant, $$\left\{ \begin{array}{l} \forall x\in\mathbb R,\ y'(x)=y(x)\\ y(0)=1 \end{array}\right.$$ On dit que la fonction exponentielle est solution de l'équation différentielle $y'(x)=y(x)$. Une équation différentielle désigne une équation dont les solutions sont des fonctions, équation qui porte sur une relation entre la fonction et sa dérivée.

  Les équations différentielles sont très importantes en physique; certaines équations différentielles simples seront étudiées dès le début de la Math Sup. Voici comment on procède :
Exercice 8 - Équations différentielles 1 [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
On se propose de chercher toutes les fonctions $y:\mathbb R\to\mathbb R$, dérivables, et vérifiant : $$\forall x\in\mathbb R, y'(x)+2y(x)=x+1.$$ On notera $(E)$ cette équation.
  1. Équation homogène. On va d'abord chercher toutes les fonctions $y:\mathbb R\to\mathbb R$, dérivables, et vérifiant $$\forall x\in\mathbb R,\ y'(x)+2y(x)=0.$$ On notera $(H)$ cette équation.
    1. Soit $C\in\mathbb R$. Vérifier que la fonction $x\mapsto C\exp(-2x)$ est solution de $(H)$.
    2. Réciproquement, soit $y$ une solution de $(H)$. On pose, pour tout $x\in\mathbb R$, $f(x)=y(x)\exp(2x)$. Démontrer que $f$ est constante. En déduire toutes les solutions de $(H)$.
  2. Retour à l'équation originale :
    1. Déterminer deux réels $a,b$ tels que $y_0(x)=ax+b$ soit solution de $(E)$.
    2. Soit $C\in\mathbb R$. Vérifier que la fonction $y$ définie sur $\mathbb R$ par $y(x)=y_0(x)+C\exp(-2x)$ est solution de $(E)$.
    3. Réciproquement, soit $y$ une solution de $(E)$. On pose $z=y-y_0$. Démontrer que $z$ est solution de $(H)$.
    4. En déduire toutes les solutions de $(E)$.
  3. Sur le même modèle, déterminer l'ensemble des fonctions $y:\mathbb R\to\mathbb R$ dérivables telles que $$\forall x\in\mathbb R,\ y'-7y=-7x^2-5x-6.$$
Indication
Corrigé