$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
Bibm@th

Préparer la math sup : nombres complexes

  Les nombres complexes sont un des chapitres vraiment nouveaux du programme de Terminale S. Ils seront à nouveau étudiés au début de la Math Sup, avec des révisions et des compléments. Préparons ce chapitre...
Pour réviser...
Enoncé
Mettre sous forme algébrique les nombres complexes suivants : $$\begin{array}{lll} \mathbf{1.}z_1=4(-2+3i)+3(-5-8i)&\quad\mathbf{2.}z_2=(2-i)(3+8i)&\displaystyle\quad{\mathbf 3.}z_3=\frac{-4}{1+i\sqrt 3}\\ \displaystyle{\mathbf 4.}z_4=\frac{(3+5i)^2}{1-2i}&\quad{\mathbf 5.}z_5=(1+i)^3&\displaystyle\quad{\mathbf 6.}z_6=\left(\frac{1+i}{2-i}\right)^2+\frac{3+6i}{3-4i}\\ \displaystyle{\mathbf 7.}z_7=(1-i)\overline{1+i}. \end{array} $$
Indication
Corrigé
Enoncé
Mettre sous forme exponentielle les nombres complexes suivants : $$\begin{array}{lll} {\mathbf 1.}z_1=1+i\sqrt 3&\quad\mathbf 2.z_2=9i&\quad{\mathbf 3.}z_3=-3\\ \displaystyle{\mathbf 4.}z_4=\frac{-i\sqrt 2}{1+i}&\displaystyle \quad\mathbf{5.}z_5=\frac{(1+i\sqrt 3)^3}{(1-i)^5}&\quad{\mathbf 6.} z_6=\sin x+i\cos x. \end{array} $$
Indication
Corrigé
Exercice 3 - Les deux à la fois - avec application [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
On considère les nombres complexes suivants : $$z_1=1+i\sqrt 3,\ z_2=1+i\textrm{ et }z_3=\frac{z_1}{z_2}.$$
  1. Écrire $z_3$ sous forme algébrique.
  2. Écrire $z_3$ sous forme trigonométrique.
  3. En déduire les valeurs exactes de $\cos\frac\pi{12}$ et $\sin\frac\pi{12}$.
Indication
Corrigé
Exercice 4 - Équation et lieu géométrique [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $z\in\mathbb C$. Montrer que $|z-i|=|z+i|$ si et seulement si $z$ est réel.
Indication
Corrigé
Pour approfondir…
Exercice 5 - Forme algébrique, le retour [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Déterminer la forme algébrique des nombres complexes suivantes : $$\mathbf 1. z_1=(2+2i)^6\quad \mathbf 2. z_2=\left(\frac{1+i\sqrt 3}{1-i}\right)^{20}\quad\mathbf 3. z_3=\frac{(1+i)^{2000}}{(i-\sqrt 3)^{1000}}.$$
Indication
Corrigé
Enoncé
Trouver les entiers $n\in\mathbb N$ tels que $(1+i\sqrt 3)^n$ soit un réel positif.
Indication
Corrigé
Exercice 7 - Entiers somme de deux carrés [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
On dit qu'un entier naturel $N$ est somme de deux carrés s'il existe deux entiers naturels $a$ et $b$ de sorte que $N=a^2+b^2$.
  1. Écrire un algorithme permettant de déterminer si un entier naturel $N$ est somme de deux carrés.
  2. On souhaite prouver que, si $N_1$ et $N_2$ sont sommes de deux carrés, alors leur produit $N_1N_2$ est aussi somme de deux carrés. Pour cela, on écrit $N_1=a^2+b^2$ et $N_2=c^2+d^2$, et on introduit $z_1=a+ib$, $z_2=c+id$. Comment écrire $N_1$ et $N_2$ en fonction de $z_1$ et $z_2$?
  3. En déduire que $N_1N_2$ est somme de deux carrés.
  4. Démontrer que si $N$ est somme de deux carrés, alors pour tout entier $p\geq 1$, $N^p$ est somme de deux carrés.
Indication
Corrigé
Enoncé
Déterminer le lieu géométrique des points $M$ dont l'affixe $z$ vérifie $$ \begin{array}{ll} \mathbf 1.\ \displaystyle \frac{|z-3|}{|z-5|}=1&\mathbf{2.}\ \displaystyle \frac{|z-3|}{|z-5|}=\frac{\sqrt 2}2\\ \mathbf 3.\ |(1+i)z-2i|=2 \end{array}$$
Indication
Corrigé
Pour préparer la suite...
Exercice 9 - Racine carrée en détails [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
On cherche à déterminer les nombres complexes $z$ tels que $z^2=15-8i$. Pour cela, on pose $z=x+iy$.
  1. Montrer que $z^2=15-8i$ si et et seulement si $(x,y)$ est solution du système : $$\left\{\begin{array}{rcl} x^2-y^2&=&15\\ 2xy&=&-8. \end{array}\right.$$
  2. Démontrer que si $z^2=15-8i$, on a aussi $x^2+y^2=17$.
  3. En déduire tous les nombres complexes $z$ tels que $z^2=15-8i$.
Indication
Corrigé
Exercice 10 - Racine carrée d'un nombre complexe [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Calculer les racines carrées des nombres complexes suivants : $z_1=3+4i,\ z_2=8-6i.$
Indication
Corrigé
Enoncé
On cherche à résoudre l'équation $$z^3+(1+i)z^2+(i-1)z-i=0.$$
  1. Rechercher une solution imaginaire pure $ai$ à l'équation.
  2. Déterminer $b,c\in\mathbb R$ tels que $$z^3+(1+i)z^2+(i-1)z-i=(z-ai)(z^2+bz+c).$$
  3. En déduire toutes les solutions de l'équation.
  4. Sur le même modèle, résoudre l'équation $z^3-(2+i)z^2+2(1+i)z-2i=0$.
Indication
Corrigé